Exercice D3 : Étude de la fonction $h$

1. Étude de la dérivabilité aux bornes

1. 1. Étude de la dérivabilité en $~0$ :

      À droite de 0 $~(x \in [0, 1])$ :

      \[ \begin{align*} \lim_{x \to 0^+} \frac{h(x) - h(0)}{x - 0} &= \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2(x - 1)}{x} \\ &= \lim_{x \to 0^+} x(x - 1) = 0 \end{align*} \]

      À gauche de 0, $~h(x)=0$, donc la limite est 0.
      $h$ est dérivable en 0 et $h'(0)=0$.

   2. Étude de la dérivabilité en $~1$ :

      À gauche de 1 ($x \in [0, 1]$) :

      \[ \begin{align*} \lim_{x \to 1^-} \frac{h(x) - h(1)}{x - 1} &= \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2(x - 1)}{x - 1} \\ &= \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1 \end{align*} \]

      À droite de 1, $~h(x)=0$, donc la dérivée à droite est 0.
      Les dérivées à gauche et à droite diffèrent $~(1 \neq 0)$.

      Conclusion : $~h~$ n'est pas dérivable en 1.

2. Dérivabilité sur $\mathbb{R}$

La fonction $~h~$ n'est pas dérivable sur $~\mathbb{R}\setminus\{1\}~$.