1. Représentation graphique

Courbe représentative de \(f\)

LĂ©gende:
f(x) = x*abs(x)

La fonction $f$ est définie par: \[f(x) =\begin{cases} x^2 &\text{ si } ~~x \geq 0\\\\ -x^2 &\text{ si } ~~x \lt 0\end{cases}\]

2. Dérivabilité en $x=0$

Calculons la limite du taux d'accroissement en 0 :

\[ \begin{align*} \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} &= \lim_{h \to 0} \frac{h|h| - 0}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} |h| \\ &= 0 \end{align*} \]

La limite est finie, donc $f$ est dérivable en $0$ et $f'(0) = 0$.

3. Conclusion sur la dérivabilité sur $\mathbb{R}$
  1. Sur $]0, +\infty[$, $f(x) = x^2$ est dérivable.
  2. Sur $]-\infty, 0[$, $f(x) = -x^2$ est dérivable.
  3. Comme $f$ est dérivable en $0$, $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
4. Calcul de la dérivée $f'(x)$

On distingue les cas selon le signe de $x$ :

  1. Si $x > 0$, $f'(x) = 2x$.
  2. Si $x < 0$, $f'(x) = -2x$.
  3. Si $x = 0$, $f'(0) = 0$.

Soit $f'(x) = 2|x|$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

5. Continuité de $f'$ sur $\mathbb{R}$

La fonction $f' : x \mapsto 2|x|$ est continue sur $\mathbb{R}$ car la fonction valeur absolue est continue sur $\mathbb{R}$.

6. Dérivabilité de $f'$ en 0

Étudions les limites à gauche et à droite du taux d'accroissement de $f'$ en 0 :

    1. Limite Ă  droite : $\lim_{h \to 0^+} \frac{2|h|}{h} = 2$.
    2. Limite Ă  gauche : $\lim_{h \to 0^-} \frac{2|h|}{h} = -2$.

Les limites étant distinctes, $f'$ n'est pas dérivable en 0.