Soit la fonction $f$ continue sur $[a, b]$ telle que $f(a) = f(b)$.
Montrer qu'il existe au moins un réel $c \in [a, \frac{a+b}{2}]$ tel que : \[ f(c) = f\left(c + \frac{b - a}{2}\right) \]

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Démonstration

Posons: $~L = \frac{b - a}{2}~$ (la demi-longueur de l'intervalle).
Considérons la fonction auxiliaire $~g~$ définie sur $~[a, a+L]~$ par : \[ g(x) = f(x+L) - f(x) \]

• Continuité : $g$ est continue sur $[a, a+L]$ car elle est la différence de deux fonctions continues.
• Valeurs aux bornes :
  • $g(a) = f(a+L) - f(a)$.
  • $g(a+L) = f(a+2L) - f(a+L) = f(b) - f(a+L)$.
• Signe : En sommant ces deux valeurs : $g(a) + g(a+L) = f(b) - f(a)$.
  Comme $f(a) = f(b)$, on a $g(a) + g(a+L) = 0$, donc $g(a+L) = -g(a)$.
• Conclusion : Par le TVI, il existe $c \in [a, a+L]$ tel que $g(c) = 0$, soit $f(c) = f(c+L)$.

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Explication graphique

Le segment bleu (la corde) doit avoir ses deux extrémités sur la courbe $\mathcal{C}_f$. La démonstration assure qu'il existe une position $c$ où cette corde est horizontale.

Remarque Importante : Validité de la longueur

On pourrait penser que ce résultat est vrai pour n'importe quelle longueur $L \in ]0, b-a[$. C'est faux.
Le théorème de la corde horizontale garantit l'existence d'une solution si et seulement si la longueur de la corde est un sous-multiple de la largeur de l'intervalle, c'est-à-dire : \[ L = \frac{b-a}{n}, \quad n \in \{2, 3, 4, \dots\} \]

Contre-exemple (Cas où $L$ n'est pas un sous-multiple)

Considérons la fonction $f$ définie sur $[0, 1]$ par : \[ f(x) = \sin^2\left(\frac{\pi x}{L}\right) - x \sin^2\left(\frac{\pi}{L}\right) \] Si l'on choisit une longueur $L$ qui n'est pas de la forme $1/n$, on peut construire des fonctions continues où $f(0)=f(1)$ mais où l'équation $f(x) = f(x+L)$ n'a aucune solution.