1. Domaine de définition

La fonction $f$ est définie si et seulement si :

• L'argument du logarithme est strictement positif : $|x| > 0$, ce qui implique $x \neq 0$.
• Le dénominateur est non nul : $\ln |x| \neq 0$, ce qui implique $|x| \neq 1$, soit $x \neq 1$ et $x \neq -1$.

Le domaine de définition est donc : \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\} = ]-\infty, -1[ \cup ]-1, 0[ \cup ]0, 1[ \cup ]1, +\infty[ \]

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2. Prolongement par continuité en -1 et 1

Étudions la limite de $f$ en 1 :

• Si $x \to 1^+$, $|x| \to 1^+$, alors $\ln |x| \to 0^+$. Par suite, $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$.
• Si $x \to 1^-$, $|x| \to 1^-$, alors $\ln |x| \to 0^-$. Par suite, $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$.

La limite en 1 n'est pas finie (elle n'existe même pas en tant que limite unique).
Puisque la fonction est paire ($f(x) = f(-x)$), les limites en -1 sont également infinies : \[ \lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty \] Conclusion : La fonction $f$ n'admet pas de prolongement par continuité ni en 1 ni en -1.

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3. Prolongement par continuité en 0

Étudions la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers 0 :
Lorsque $x \to 0$, on a $|x| \to 0^+$.
On sait que $\lim_{u \to 0^+} \ln(u) = -\infty$.
Par conséquent : \[ \lim_{x \to 0} \ln |x| = -\infty \] D'où : \[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{\ln |x|} = 0 \] La limite est finie et unique.
Conclusion : La fonction $f$ admet un prolongement par continuité en 0 en posant $f(0) = 0$.