1. Unicité de la solution :
    Soit: $~f(x) = x^3 + 3x - 4$.
    $f$ est dérivable sur $~\mathbb{R}~$ et $~f'(x) = 3x^2 + 3$.
    Comme $f'(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, alors $~f~$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
    En outre on a: $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\quad \text{ et }\quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$ D'aprÚs le théorÚme de la bijection, $f$ s'annule exactement une fois sur $\mathbb{R}$.
  2. Calcul algébrique :
    Posons:
    $~u = \sqrt[3]{\sqrt{5} + 2}~~$ et $~~v = \sqrt[3]{\sqrt{5} - 2}$.
    On a: $~~\alpha = u - v$.
    $\alpha^3 = (u-v)^3 = u^3 - v^3 - 3uv(u-v)$.
    Or $u^3 - v^3 = 4$ et $uv = \sqrt[3]{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)} = \sqrt[3]{5-4} = 1$.
    Donc: $~~\alpha^3 = 4 - 3\alpha$
    Soit: $~~\alpha^3 + 3\alpha - 4 = 0$.
    Ainsi $~\alpha$ est solution de $~(E)$.
    En outre on a: $~~f(1) = 1 + 3 - 4 = 0$, De l'unicité de la solution, on conclut que $\alpha = 1$.