La fonction de Thomae (dite aussi pop-corn)

1. Discontinuité sur les rationnels :
   Soit $a \in \mathbb{Q}$, alors $f(a) > 0$.
   Tout intervalle ouvert centré en $a$, aussi petit soit-il, contient des irrationnels (densité de $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$).
   Pour ces irrationnels $x$, $f(x) = 0$. L'écart $|f(x) - f(a)| = f(a)$ ne peut donc pas être rendu arbitrairement petit. $f$ est discontinue sur $\mathbb{Q}$.
2. Propriété des dénominateurs :
   Dans un intervalle borné $I$, pour un $q$ donné, il n'y a qu'un nombre fini de multiples $p$ tels que $p/q \in I$.
   L'ensemble $A_M = \{ \frac{p}{q} \in I \cap \mathbb{Q} \mid q \leq M \}$ est donc fini.
3. Continuité sur les irrationnels :
   Soit $x_0 \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ et $\epsilon > 0$. Fixons $M$ tel que $1/M < \epsilon$.
   L'ensemble $A_M$ est fini et ne contient pas $x_0$.
   Il existe donc un intervalle $I_{x_0}$ tel que $I_{x_0} \cap A_M = \emptyset$.
   Pour tout $x \in I_{x_0}$ :
   - Si $x \notin \mathbb{Q}$, $f(x) = 0$.
   - Si $x \in \mathbb{Q}$, alors $x = p/q$ avec $q > M$ (car $x \notin A_M$), donc $f(x) = 1/q < 1/M < \epsilon$.
   On a bien $\forall x \in I_{x_0}, |f(x) - f(x_0)| < \epsilon$. $f$ est continue en $x_0$.