- Calcul de la dérivée :
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout $x \in \mathbb{R}$ : \[ f'(x) = (n+1)x^n - 2nx^{n-1} = x^{n-1} \left( (n+1)x - 2n \right) \] Pour $x \in \left]0 ; \frac{2n}{n+1}\right[$, on a $x^{n-1} > 0$ et $(n+1)x - 2n < 0$.
La dérivée est strictement négative, donc $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
Remarquons que: $~~f(1) = 1^{n+1} - 2(1)^n + 1 = 0$.
Puisque $~n \geq 2,~$ on a $~n+1 < 2n,~$ d'oĂč $~1 < \frac{2n}{n+1}$.
Comme $f$ est strictement décroissante sur $\left[0 ; \frac{2n}{n+1}\right]$, on a : \[ 1 < \frac{2n}{n+1} \implies f\left(\frac{2n}{n+1}\right) < f(1) = 0 \] Soit: $f\left(\frac{2n}{n+1}\right) < 0$ - ThéorÚme des Valeurs Intermédiaires :
On a:
$f\left(\frac{2n}{n+1}\right) < 0~$ et $~f(2) = 2^{n+1} - 2(2^n) + 1 = 1 > 0$.
$f$ est continue sur $~\left[\frac{2n}{n+1} ; 2\right]~$ et $~0~$ est compris entre les images des bornes.
D'aprĂšs le TVI, il existe $\alpha \in \left]\frac{2n}{n+1} ; 2\right[$ tel que $f(\alpha) = 0$. - VĂ©rification :
$f(\alpha) = 0 \iff \alpha^{n+1} - 2\alpha^n + 1 = 0 \iff 1 = \alpha^n(2 - \alpha)$.
Puisque $\alpha < 2$, alors $2 - \alpha \neq 0$, donc : \[ \alpha^n = \frac{1}{2 - \alpha} \]