Valeur moyenne et TVI

1. Encadrement de la somme :
   Puisque la fonction $f$ est continue sur le segment $[a, b]$, elle est bornée et atteint ses bornes. Notons $m = \min_{x \in [a, b]} f(x)$ et $M = \max_{x \in [a, b]} f(x)$.
   Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, nous avons par définition : \[ m \leq f(x_i) \leq M \]
2. Sommation et moyenne :
   En sommant ces $n$ inégalités, on obtient : \[ n \cdot m \leq \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \leq n \cdot M \] En divisant par $n$, il vient : \[ m \leq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \leq M \]
3. Application du Théorème des Valeurs Intermédiaires :
   Posons $y = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)$. Comme $y \in [m, M]$ et que $f$ est continue sur $[a, b]$, d'après le Théorème des Valeurs Intermédiaires, il existe $c \in [a, b]$ tel que : \[ f(c) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \]