• 1. Image d'un point fixe :
    Soit $a \in [0, 1]$ tel que $f(a)=a$.
    Alors $f(g(a)) = (f \circ g)(a) = (g \circ f)(a) = g(f(a)) = g(a)$.
    Donc $g(a)$ est un point fixe de $f$.

    • Existence du point de $~\alpha$
    • Soit $S = \{x \in [0, 1] \mid f(x)=x\}$.
      $S$ est un fermé borné non vide.
    • Soient $~m = \min S~$ et $~M = \max S$.
      On a $~f(m)=m~$ et $~f(M)=M$.
    • Comme $~g(S) \subset S~$, alors $~g(m) \in S~$ et $~g(M) \in S~$.
    • Par dĂ©finition des bornes de $S$ : $g(m) \ge m$ et $g(M) \le M$.
    • Soit $~h(x) = g(x) - f(x)$.
    • $h(m) = g(m) - m \ge 0$.
    • $h(M) = g(M) - M \le 0$.
    • Par continuitĂ© de $h$ sur $[m, M]$, il existe $\alpha \in [m, M]$ tel que $h(\alpha)=0$.
    • D'oĂč $f(\alpha) = g(\alpha)$.