• 1. RĂ©currence :
    1. Initialisation ($n=0$) : $f(x/1) = f(x)$ est immédiat.
    2. Hérédité : Supposons $f(x/2^n) = f(x)$.
    3. Par hypothĂšse, $f(y) = f(2y)$ pour tout $y$.
      Posons: $~y = x/2^{n+1}$, on a : \[ f\left(\frac{x}{2^{n+1}}\right) = f\left(2 \cdot \frac{x}{2^{n+1}}\right) = f\left(\frac{x}{2^n}\right) \]
    4. Par hypothÚse de récurrence, $f(x/2^n) = f(x)$
      Par la suite: $~f(x/2^{n+1}) = f(x)$.
  • 2. Passage Ă  la limite :
    1. On a $f(x) = f(x/2^n)$ pour tout $n$.
    2. Puisque $f$ est continue en $0$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{x}{2^n} = 0$, alors : \[ f(x) = \lim_{n \to +\infty} f\left(\frac{x}{2^n}\right) = f(0) \]
    3. $f(x) = f(0)$ pour tout $x$, donc $f$ est constante.