- 1. Domaine de définition :
Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $x - E(x) \ge 0$, donc $D_f = \mathbb{R}$. - L'Ă©quation est $\sqrt{x - E(x)} = x$. Elle impose $x \geq 0$.
- Posons $x = E(x) + \epsilon$ avec $\epsilon \in [0, 1[$.
- L'Ă©quation devient $\sqrt{\epsilon} = x$, d'oĂč $\epsilon = x^2$.
- Puisque $\epsilon < 1$, on a $x^2 < 1$, donc $x \in [0, 1[$.
- Pour $x \in [0, 1[$, $E(x) = 0$, donc $x = \epsilon$.
- L'Ă©quation devient $x = x^2 \iff x(1-x) = 0$.
- Seule la valeur $x=0$ appartient Ă l'intervalle $[0, 1[$.
- $S = \{0\}$.
- 3. Continuité :
- En $n \in \mathbb{Z}$ :
$\lim_{x \to n^+} f(x) = -n = f(n)$.
$\lim_{x \to n^-} f(x) = \sqrt{1} - n = 1 - n$.
$f$ est continue Ă droite mais pas Ă gauche en $n$. - Sur $]n, n+1[$ :
$f(x) = \sqrt{x - n} - x$, qui est continue.
- En $n \in \mathbb{Z}$ :
- 4. Encadrement :
Comme $0 \le x - E(x) < 1$, alors $0 \le \sqrt{x - E(x)} < 1$.
D'oĂč $-x \le f(x) < 1 - x$. - 5. Limites :
Par comparaison avec l'encadrement :
$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.