• Question 1 :
    1. Supposons, sans perte de généralité, que $f(a) \le f(b)$.
    2. Comme $\alpha + \beta = 1$ avec $\alpha, \beta > 0$, alors $f(a) \le \alpha f(a) + \beta f(b) \le f(b)$.
    3. En effet : $\alpha f(a) + \beta f(b) - f(a) = \beta(f(b) - f(a)) \ge 0$.
    4. La fonction $f$ est continue sur $[a, b]$.
    5. D'aprÚs le ThéorÚme des Valeurs Intermédiaires, il existe $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = \alpha f(a) + \beta f(b)$.
  • Question 2 :
    1. L'égalité $pf(a) + qf(b) = (p+q)f(c)$ équivaut à $\frac{p}{p+q}f(a) + \frac{q}{p+q}f(b) = f(c)$.
    2. Posons $\alpha = \frac{p}{p+q}$ et $\beta = \frac{q}{p+q}$.
    3. On a bien $\alpha > 0$, $\beta > 0$ et $\alpha + \beta = 1$.
    4. D'aprÚs le résultat de la question 1, l'existence de $c$ est démontrée.