1. Soit $\epsilon > 0$. Puisque $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n \geq N$, $|u_n - \ell| < \epsilon$. \begin{align*} n \geq N &\implies 2n \geq N \implies |u_{2n} - \ell| < \epsilon \\ n \geq N &\implies 2n+1 \geq N \implies |u_{2n+1} - \ell| < \epsilon \end{align*} Soit : $\lim u_{2n} = \ell$ et $\lim u_{2n+1} = \ell$.
  2. Réciproque :
    En utilisant les définitions de la limite pour les rangs pairs et impairs, on trouve un rang $N = \max(2N_1, 2N_2+1)$ tel que pour tout $m \geq N$, $|u_m - \ell| < \epsilon$. Soit : $\lim u_n = \ell$.
  3. Contre exemple :
    Considérons la suite: $~u_n = (-1)^n$,
    On voit que:
    $\lim u_{2n} = 1~$ et $~\lim u_{2n+1} = -1$.
    La suite $~(u_n)~$ est alors divergente car ses suites extraites paires et impaires ont des limites distinctes.
  4. Utilisation de $~(u_{3n})~$ :
    Supposons que les trois suites $~u_{2n}, u_{2n+1}~$ et $~u_{3n}~$ convergent respectivement vers $a,b$ et $c$ $\lim u_{6n} = \lim u_{2n} = a$
    $\lim u_{6n} = \lim u_{3n} = c $
    Et donc: $a=c$
    En outre:
    $\lim u_{6n+3} = \lim u_{2n+1} = b$
    $\lim u_{6n+3} = \lim u_{3n} = c $
    Et donc: $b=c$
    Par conséquent: $~a=b=c$.
    En utilisant la première question, ( car $~a=b$ ), on en déduit que la suite $u_n$ est convergente.