1. Cas $\Delta > 0$ : Racines réelles distinctes
    1. VĂ©rification de la relation :
      Soit $u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n$. Comme $r_1$ et $r_2$ sont racines de $r^2 - ar - b = 0$, on a $r_i^2 = ar_i + b$. \begin{align*} au_{n+1} + bu_n &= a(\lambda r_1^{n+1} + \mu r_2^{n+1}) + b(\lambda r_1^n + \mu r_2^n) \\ &= \lambda r_1^n(ar_1 + b) + \mu r_2^n(ar_2 + b) \\ &= \lambda r_1^n(r_1^2) + \mu r_2^n(r_2^2) \\ &= \lambda r_1^{n+2} + \mu r_2^{n+2} = u_{n+2} \end{align*} La suite vérifie alors la relation de récurrence.
    2. Application :
      L'équation caractéristique est $r^2 - 5r + 6 = 0$. On trouve $r_1 = 2$ et $r_2 = 3$.
      En utilisant $u_0=2$ et $u_1=5$ : \begin{align*} \begin{cases} \lambda + \mu = 2 \\ 2\lambda + 3\mu = 5 \end{cases} \implies \begin{cases} \lambda = 1 \\ \mu = 1 \end{cases} \end{align*} Soit : $u_n = 2^n + 3^n$
  2. Cas $\Delta = 0$ : Racine réelle double
    1. VĂ©rification pour $v_n = nr_0^n$ :
      Ici $a = 2r_0$ et $b = -r_0^2$. \begin{align*} av_{n+1} + bv_n &= 2r_0(n+1)r_0^{n+1} - r_0^2(nr_0^n) \\ &= 2(n+1)r_0^{n+2} - nr_0^{n+2} \\ &= (n+2)r_0^{n+2} = v_{n+2} \end{align*} Donc, la suite $v_n$, vérifie la relation de récurrence.
    2. Forme générale :
      Par linéarité, toute suite de la forme $u_n = (\lambda + \mu n)r_0^n$ est solution.
      Soit : $u_n = (\lambda + \mu n)r_0^n$
      Note théorique :
      • LinĂ©aritĂ© : L'ensemble des solutions est un espace vectoriel. Si $(r_0^n)$ et $(n r_0^n)$ sont solutions, alors toute combinaison $u_n = \lambda r_0^n + \mu n r_0^n$ l'est aussi.
      • Dimension : L'espace des solutions est de dimension 2.
        Les deux suites citées étant linéairement indépendantes, elles constituent une base.
      Soit : $u_n = (\lambda + \mu n)r_0^n$ est la forme générale exhaustive.
  3. Cas $\Delta < 0$ : Racines complexes conjuguées
    1. Forme trigonométrique :
      En posant $r_1 = \rho e^{i\theta}$, les solutions complexes sont des combinaisons de $(\rho e^{i\theta})^n$ et $(\rho e^{-i\theta})^n$.
      En utilisant les formules d'Euler, on obtient la forme réelle :
      Soit : $u_n = \rho^n (A \cos(n\theta) + B \sin(n\theta))$
    2. Application :
      Pour $u_{n+2} = u_{n+1} - u_n$, l'Ă©quation est $r^2 - r + 1 = 0$.
      Les racines sont $e^{\pm i\frac{\pi}{3}}$, donc $\rho = 1$ et $\theta = \frac{\pi}{3}$. \begin{align*} u_n = A \cos\left(n\frac{\pi}{3}\right) + B \sin\left(n\frac{\pi}{3}\right) \end{align*} Avec $u_0 = 1$ et $u_1 = 1$, on trouve $A=1$ et $B=\frac{1}{\sqrt{3}}$.
      Soit : $u_n = \cos\left(n\frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{\sqrt{3}} \sin\left(n\frac{\pi}{3}\right)$