1. Étude d'une suite géométrique particulière :
    1. Condition sur $x$ :
      La suite $(w_n)$ définie par $w_n = x^n$ ($x \neq 0$) vérifie $w_{n+2} = w_{n+1} + w_n$ si et seulement si : $$x^{n+2} = x^{n+1} + x^n $$ c'est à dire $$x^{n+2} - x^{n+1} - x^n = 0$$ Ou encore: $$x^n(x^2 - x - 1) = 0$$ Comme $x \neq 0$, cela équivaut à: $$x^2 - x - 1 = 0\qquad (1)$$
      $x$ doit donc être solution de l'équation $~(1)$
    2. Résolution de l'équation :
      Le discriminant de l'équation est $\Delta = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 5$.
      Les solutions sont donc : \begin{align*} \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \quad \text{et} \quad \psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \\ \end{align*} Soit : $\phi \approx 1,618$ et $\psi \approx -0,618$
    3. Vérification des conditions :
      Puisque $\phi$ et $\psi$ sont solutions de $x^2 = x + 1$, les suites $(\phi^n)$ et $(\psi^n)$ vérifient par construction la relation $w_{n+2} = w_{n+1} + w_n$.
      Cependant, pour $n=0$, $\phi^0 = 1 \neq 0$, donc la condition $u_0 = 0$ n'est pas respectée.
      Soit : Aucune de ces deux suites ne vérifie $(u_0, u_1) = (0, 1)$
  2. Combinaison linéaire et conclusion :
    1. Système d'équations :
      On pose $u_n = \lambda \phi^n + \mu \psi^n$.
      • Pour $n=0$ : $u_0 = \lambda \phi^0 + \mu \psi^0 = \lambda + \mu = 0$
      • Pour $n=1$ : $u_1 = \lambda \phi^1 + \mu \psi^1 = \lambda \phi + \mu \psi = 1$
      Soit : le système est $\begin{cases} \lambda + \mu = 0 \\ \lambda\phi + \mu\psi = 1 \end{cases}$
    2. Calcul de $\lambda$ et $\mu$ :
      Calculons d'abord la différence : \begin{align*} \phi - \psi &= \frac{1+\sqrt{5}}{2} - \frac{1-\sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} \\ \end{align*} Du système, on tire $\mu = -\lambda$. En remplaçant dans la seconde équation : \begin{align*} \lambda\phi - \lambda\psi = 1 \implies \lambda(\phi - \psi) = 1 \implies \lambda\sqrt{5} = 1 \\ \end{align*} Soit : $\lambda = \frac{1}{\sqrt{5}}$ et $\mu = -\frac{1}{\sqrt{5}}$
    3. Expression de Binet :
      En remplaçant $\lambda$ et $\mu$ dans l'expression de $u_n$, on obtient : \begin{align*} u_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \phi^n - \frac{1}{\sqrt{5}} \psi^n \\ \end{align*} Soit : $u_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \phi^n - \psi^n \right)$