Exercice 43
Solution proposée :
  1. Calcul de $I_0$ :
    \[ I_0 = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} \, dx = [\ln(1+x)]_{0}^{1} \] Soit : $I_0 = \ln(2)$
    1. Monotonie de la suite :
      Pour tout $x \in [0, 1]$, on a $x^{n+1} \leq x^n$. Comme $1+x > 0$, il s'ensuit que $\frac{x^{n+1}}{1+x} \leq \frac{x^n}{1+x}$.
      Par croissance de l'intégrale : \[ \int_{0}^{1} \frac{x^{n+1}}{1+x} \, dx \leq \int_{0}^{1} \frac{x^n}{1+x} \, dx \] Soit : $I_{n+1} \leq I_n$, la suite $(I_n)$ est donc décroissante.
    2. Convergence (Méthode 1 - Encadrement direct) :
      Pour tout $x \in [0, 1]$, $0 \leq \frac{x^n}{1+x} \leq x^n$.
      Par intégration : $0 \leq I_n \leq \int_{0}^{1} x^n \, dx = \frac{1}{n+1}$.
      D'après le théorème des gendarmes, $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n+1} = 0$.
      Soit : $\lim_{n \to +\infty} I_n = 0$
    3. Convergence (Méthode 2 - Découpage de Chasles) :
      Soit $c \in ]0, 1[$. Par la relation de Chasles : \[ I_n = \int_{0}^{c} \frac{x^n}{1+x} \, dx + \int_{c}^{1} \frac{x^n}{1+x} \, dx \] Sur $[0, c]$, $\int_{0}^{c} \frac{x^n}{1+x} \, dx \leq \int_{0}^{c} x^n \, dx = \frac{c^{n+1}}{n+1}$.
      Sur $[c, 1]$, $\int_{c}^{1} \frac{x^n}{1+x} \, dx \leq \int_{c}^{1} \frac{1}{2} \, dx = \frac{1-c}{2}$.
      En fixant $c$ tel que $\frac{1-c}{2} < \frac{\epsilon}{2}$, puis $n$ assez grand pour que $\frac{c^{n+1}}{n+1} < \frac{\epsilon}{2}$, on montre la convergence.
      Soit : $\lim_{n \to +\infty} I_n = 0$
  3. Relation de récurrence :
    \[ I_n + I_{n+1} = \int_{0}^{1} \frac{x^n(1+x)}{1+x} \, dx = \int_{0}^{1} x^n \, dx = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{1} \] Soit : $I_n + I_{n+1} = \frac{1}{n+1}$
    1. Encadrement de $I_n$ :
      Par décroissance, $I_{n+1} \leq I_n \implies I_n + I_{n+1} \leq 2I_n \implies \frac{1}{n+1} \leq 2I_n$.
      Et $I_n \leq I_{n-1} \implies I_n + I_{n-1} \geq 2I_n \implies \frac{1}{n} \geq 2I_n$.
      Soit : $\frac{1}{2(n+1)} \leq I_n \leq \frac{1}{2n}$
    2. Limite par encadrement :
      Par application du théorème des gendarmes : \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2(n+1)} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2n} = 0 \] Soit : $\lim_{n \to +\infty} I_n = 0$