1. Existence et unicité de $\alpha_n$ :
    La fonction $P_n$ est une fonction polynôme, donc dérivable sur $[0, +\infty[$.
    Pour tout $x \geq 0$, $P'_n(x) = nx^{n-1} + (n-1)x^{n-2} + \dots + 1$.
    Comme $x \geq 0$, tous les termes de $P'_n(x)$ sont positifs, et $P'_n(x) \geq 1 > 0$.
    Ainsi, $P_n$ est strictement croissante sur $[0, +\infty[$.
    • $P_n(0) = -1 < 0$
    • $\lim_{x \to +\infty} P_n(x) = +\infty$
    D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $P_n(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha_n \in ]0, +\infty[$.
  2. Localisation de $\alpha_n$ pour $n \geq 2$ :
    Calculons $P_n(1)$ pour $n \geq 2$ : \[ P_n(1) = \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{n \text{ fois}} - 1 = n - 1 \] Puisque $n \geq 2$, on a $P_n(1) \geq 1 > 0$.
    On a donc $P_n(0) < 0$ et $P_n(1) > 0$. Comme $P_n$ est continue et strictement croissante, l'unique solution $\alpha_n$ appartient nécessairement à l'intervalle $]0, 1[$.
  3. Étude de la monotonie de $(\alpha_n)$ :
    Comparons $P_{n+1}(x)$ et $P_n(x)$ pour $x > 0$ : \[ P_{n+1}(x) = x^{n+1} + x^n + \dots + x - 1 = x^{n+1} + P_n(x) \] En particulier, pour $x = \alpha_n$, on sait que $P_n(\alpha_n) = 0$, donc : \[ P_{n+1}(\alpha_n) = \alpha_n^{n+1} + 0 = \alpha_n^{n+1} \] Comme $\alpha_n > 0$, on a $P_{n+1}(\alpha_n) > 0$.
    Or, nous savons que $P_{n+1}(\alpha_{n+1}) = 0$. On en déduit que : \[ P_{n+1}(\alpha_{n+1}) < P_{n+1}(\alpha_n) \] La fonction $P_{n+1}$ étant strictement croissante, cette inégalité implique : \[ \alpha_{n+1} < \alpha_n \] La suite $(\alpha_n)_{n \geq 1}$ est donc strictement décroissante. Étant minorée par 0, elle est convergente vers une limite $L \geq 0$.
  4. Expression simplifiée de $P_n(x)$ :
    Pour $x \neq 1$, la somme $x + x^2 + \dots + x^n$ est une progression géométrique de premier terme $x$ et de raison $x$. \[ \sum_{k=1}^n x^k = x \frac{1-x^n}{1-x} \] Par conséquent : \[ P_n(x) = \frac{x(1-x^n)}{1-x} - 1 \]
  5. Calcul de la limite de $(\alpha_n)$ :
    Puisque $P_n(\alpha_n) = 0$, nous avons : \[ \frac{\alpha_n(1-\alpha_n^n)}{1-\alpha_n} - 1 = 0 \iff \alpha_n - \alpha_n^{n+1} = 1 - \alpha_n \iff 2\alpha_n - 1 = \alpha_n^{n+1} \] Comme $0 < \alpha_n \leq \alpha_2 < 1$ pour $n \geq 2$, on a $\lim_{n \to +\infty} \alpha_n^{n+1} = 0$.
    En passant à la limite dans l'égalité $2\alpha_n - 1 = \alpha_n^{n+1}$, on obtient : \[ 2L - 1 = 0 \implies L = \frac{1}{2} \] La suite $(\alpha_n)$ converge donc vers $\frac{1}{2}$.