1. Méthode 1 : Approche par le point fixe

• a) Détermination du point fixe $\alpha$

  L'équation: $$\alpha = a\alpha + b$$ équivaut à : \[ \alpha(1 - a) = b \] Comme $a \neq 1$, on a : $\alpha = \frac{b}{1 - a}$.

• b) Nature de la suite $(v_n)$

  Calculons $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ : \[ v_{n+1} = u_{n+1} - \alpha = (au_n + b) - (a\alpha + b) \] \[ v_{n+1} = a(u_n - \alpha) = av_n \] La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $a$.

• c) Expression de $u_n$

  D'après les propriétés des suites géométriques : $v_n = v_0 \times a^n = (u_0 - \alpha)a^n$.
  En revenant à $u_n$ : \[ u_n = v_n + \alpha = (u_0 - \alpha)a^n + \alpha \] $u_n = a^n u_0 + \alpha(1 - a^n)$.

2. Méthode 2 : Approche par itération et sommation

• a) Premiers termes

  1. $u_1 = au_0 + b$
  2. $u_2 = a(au_0 + b) + b = a^2 u_0 + ab + b$
  3. $u_3 = a(a^2 u_0 + ab + b) + b = a^3 u_0 + a^2 b + ab + b$
  4. $u_4 = a^4 u_0 + a^3 b + a^2 b + ab + b$

• b) Démontrer $u_n = a^n u_0 + b \sum_{k=0}^{n-1} a^k$ par récurrence

  • Initialisation : Pour $n=1$, $u_1 = a^1 u_0 + b(a^0) = au_0 + b$. (Vrai)
  • Hérédité : Supposons la relation vraie au rang $n$. \[ u_{n+1} = au_n + b = a\left(a^n u_0 + b \sum_{k=0}^{n-1} a^k\right) + b \] \[ u_{n+1} = a^{n+1} u_0 + b \sum_{k=0}^{n-1} a^{k+1} + b = a^{n+1} u_0 + b \left(\sum_{j=1}^{n} a^j + a^0\right) \] \[ u_{n+1} = a^{n+1} u_0 + b \sum_{k=0}^{n} a^k \]
  • Conclusion : La formule est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.

• c) Expression explicite

  La somme est celle d'une suite géométrique de raison $a \neq 1$ : $\sum_{k=0}^{n-1} a^k = \frac{1 - a^n}{1 - a}$.
  D'où : $u_n = a^n u_0 + b \frac{1 - a^n}{1 - a}$.

3. Application numérique

• a) Point fixe $\alpha$

  $\alpha = 2\alpha + 3\implies \alpha = -3$.

• b) Expression de $u_n$

  En utilisant la méthode 1 :
  $$u_n = (u_0 - \alpha)2^n + \alpha$$ Avec $u_0 = 5$ et $\alpha = -3$ : \[ u_n = (5 - (-3))2^n - 3 \] Soit: $$u_n = 2^{n+3} - 3$$