Suites couplées et approche matricielle

1. Étude par combinaisons linéaires

• a) Suite $(s_n)$

  Calculons $s_{n+1} = u_{n+1} + v_{n+1}$ : \[ s_{n+1} = \frac{1}{3}(2u_n + v_n) + \frac{1}{3}(u_n + 2v_n) = \frac{3u_n + 3v_n}{3} = u_n + v_n = s_n \] La suite $(s_n)$ est donc constante. Sa valeur est $s_n = s_0 = u_0 + v_0 = 1 + 2 = 3$.

• b) Suite $(d_n)$

  Calculons $d_{n+1} = u_{n+1} - v_{n+1}$ : \[ d_{n+1} = \frac{1}{3}(2u_n + v_n) - \frac{1}{3}(u_n + 2v_n) = \frac{u_n - v_n}{3} = \frac{1}{3} d_n \] La suite $(d_n)$ est géométrique de raison $q = 1/3$ et de premier terme $d_0 = 1 - 2 = -1$.

• c) Expressions en fonction de $n$

  \[ s_n = 3 \quad \text{et} \quad d_n = -1 \times \left(\frac{1}{3}\right)^n = -\frac{1}{3^n} \]

• d) Expressions de $u_n$ et $v_n$

  On résout le système : $u_n + v_n = 3$ et $u_n - v_n = d_n$.
  • $u_n = \frac{1}{2}(s_n + d_n) = \frac{1}{2}\left(3 - \frac{1}{3^n}\right)$
  • $v_n = \frac{1}{2}(s_n - d_n) = \frac{1}{2}\left(3 + \frac{1}{3^n}\right)$

• e) Limites

  On a: $~\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{3^n} = 0$,
  On en déduit : $\lim u_n = \frac{3}{2}$ et $\lim v_n = \frac{3}{2}$.

2. Étude matricielle

• a) Relation $A = \frac{1}{3}I + \frac{1}{3}J$

  $\frac{1}{3}I + \frac{1}{3}J = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = A$. La relation est vérifiée.

• b) Puissances de $J$

  $J^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = 2J$.
  Récurrence : Pour $k=1$, $J^1 = 2^0 J = J$ (Vrai).
  Supposons $J^k = 2^{k-1}J$. Alors $J^{k+1} = J^k \times J = 2^{k-1}J^2 = 2^{k-1}(2J) = 2^k J$. (Hérédité vérifiée).

• c) Calcul de $A^n$

  $A^n = \left[\frac{1}{3}(I + J)\right]^n = \frac{1}{3^n} (I + J)^n$.
  Comme $~I~$ et $~J~$ commutent ($IJ=JI=J$), on utilise le binôme de Newton : \[ (I+J)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} J^k I^{n-k} = I + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} 2^{k-1} J \] \[ (I+J)^n = I + \frac{1}{2} \left[ \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} 2^k \right] J = I + \frac{1}{2} \left[ (1+2)^n - \binom{n}{0} 2^0 \right] J = I + \frac{3^n - 1}{2} J \] Par la suite : $$A^n = \frac{1}{3^n} I + \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{3^n}\right) J$$

• d) Retrouver $u_n$ et $v_n$

  $X_n = A^n X_0$ avec $X_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$. \[ X_n = \frac{1}{3^n} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{3^n}\right) \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \] \[ X_n = \begin{pmatrix} 1/3^n \\ 2/3^n \end{pmatrix} + \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{3^n}\right) \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3^n} + \frac{3}{2} - \frac{3}{2 \cdot 3^n} \\ \frac{2}{3^n} + \frac{3}{2} - \frac{3}{2 \cdot 3^n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^n} \\ \frac{3}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3^n} \end{pmatrix} \] On retrouve bien: $~u_n = \frac{1}{2}(3 - \frac{1}{3^n})$ et $v_n = \frac{1}{2}(3 + \frac{1}{3^n})$.