1. Nature des suites $(a_n)$ et $(b_n)$

• a) Suite $(a_n)$

  Calculons $a_{n+1} = u_{n+1} - v_{n+1}$ : \[ a_{n+1} = (4u_n - 2v_n) - (u_n + v_n) = 3u_n - 3v_n = 3(u_n - v_n) \] On a donc $a_{n+1} = 3a_n$. La suite $(a_n)$ est géométrique de raison $q_1 = 3$.

• b) Suite $(b_n)$

  Calculons $b_{n+1} = u_{n+1} - 2v_{n+1}$ : \[ b_{n+1} = (4u_n - 2v_n) - 2(u_n + v_n) = 2u_n - 4v_n = 2(u_n - 2v_n) \] On a donc $b_{n+1} = 2b_n$.
  La suite $~(b_n)~$ est géométrique de raison $~q_2 = 2$.

2. Expressions de $~a_n~$ et $~b_n~$ en fonction de $n$

• Calculons les premiers termes :
  • $a_0 = u_0 - v_0 = 1 - 2 = -1$
  • $b_0 = u_0 - 2v_0 = 1 - 2(2) = -3$
• D'après les propriétés des suites géométriques : \[ a_n = a_0 \times 3^n = -3^n \] \[ b_n = b_0 \times 2^n = -3 \times 2^n \]

3. Expressions de $u_n$ et $v_n$

• Nous avons le système suivant : \[ \begin{cases} u_n - v_n = a_n \quad (1) \\ u_n - 2v_n = b_n \quad (2) \end{cases} \]
• En faisant $(1) - (2)$, on obtient : $v_n = a_n - b_n$.
  Soit : $v_n = -3^n + 3 \times 2^n$.
• En remplaçant $v_n$ dans $(1)$ : $u_n = a_n + v_n = a_n + (a_n - b_n) = 2a_n - b_n$.
  Soit : $u_n = -2 \times 3^n + 3 \times 2^n$.

4. Limite de la suite $w_n = \frac{u_n}{v_n}$

• Exprimons $w_n$ : \[ w_n = \frac{-2 \times 3^n + 3 \times 2^n}{-3^n + 3 \times 2^n} \]
• Factorisons par le terme prépondérant $3^n$ au numérateur et au dénominateur : \[ w_n = \frac{-2 \times 3^n \left( 1 - \frac{3}{2} (\frac{2}{3})^n \right)}{-3^n \left( 1 - 3 (\frac{2}{3})^n \right)} = \frac{2 \left( 1 - \frac{3}{2} (\frac{2}{3})^n \right)}{ \left( 1 - 3 (\frac{2}{3})^n \right)} \]
• Comme $|2/3| < 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} (\frac{2}{3})^n = 0$.
  Par conséquent : \[ \lim_{n \to +\infty} w_n = 2 \]