1. Monotonie de la suite $(H_n)$

• Calculons la différence entre deux termes consécutifs : \[ H_{n+1} - H_n = \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \frac{1}{n+1} \]
• Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $n+1 > 0$, donc $\frac{1}{n+1} > 0$.
  La suite $(H_n)$ est donc strictement croissante.

2. Étude de la divergence (Méthode de Cauchy)

• a) Montrer que $H_{2n} - H_n \geq \frac{1}{2}$

  Par définition : \[ H_{2n} - H_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n} \] Cette somme contient exactement $n$ termes. Or, pour tout $k \in \{1, \dots, n\}$ : \[ n+k \leq 2n \implies \frac{1}{n+k} \geq \frac{1}{2n} \] En sommant ces $n$ inégalités : \[ H_{2n} - H_n \geq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2n} = n \times \frac{1}{2n} = \frac{1}{2} \]

• b) Raisonnement par l'absurde

  Supposons que la suite $(H_n)$ converge vers une limite réelle $L$.
  Alors, par limite de suites extraites, on aurait $\lim_{n \to +\infty} H_{2n} = L$ et $\lim_{n \to +\infty} H_n = L$.
  Par conséquent : \[ \lim_{n \to +\infty} (H_{2n} - H_n) = L - L = 0 \] Or, nous venons de montrer que pour tout $n$, $H_{2n} - H_n \geq \frac{1}{2}$. En passant à la limite, on obtiendrait $0 \geq \frac{1}{2}$, ce qui est absurde.
  La suite $(H_n)$ n'est donc pas convergente.

3.

• a) Variations de $f$ et $g$

  • Pour $f$ : $f'(x) = \frac{1}{1+x} - 1 = \frac{-x}{1+x}$. Comme $x > 0$, $f'(x) < 0$.
    $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$. Comme $f(0)=0$, alors $f(x) < 0$.
  • Pour $g$ : $g'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{1(1+x)-x}{(1+x)^2} = \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(1+x)^2} = \frac{x}{(1+x)^2}$.
    Comme $x > 0$, $g'(x) > 0$. $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+^*$. Comme $g(0)=0$, alors $g(x) > 0$.

• b) En déduire l'encadrement

  Des signes de $f$ et $g$, on tire pour $x > 0$ : $\frac{x}{1+x} \leq \ln(1+x) \leq x$.
  En posant $x = \frac{1}{k}$ avec $k \in \mathbb{N}^*$ : \[ \frac{1/k}{1+1/k} \leq \ln(1+\frac{1}{k}) \leq \frac{1}{k} \implies \frac{1}{k+1} \leq \ln\left(\frac{k+1}{k}\right) \leq \frac{1}{k} \] Soit : $\frac{1}{k+1} \leq \ln(k+1) - \ln(k) \leq \frac{1}{k}$.

• c) Limite de $(H_n)$

  Utilisons la partie droite de l'inégalité : $\frac{1}{k} \geq \ln(k+1) - \ln(k)$.
  En sommant de $k=1$ à $n$ : \[ H_n \geq \sum_{k=1}^{n} (\ln(k+1) - \ln(k)) \] Par télescopage : $H_n \geq \ln(n+1) - \ln(1) = \ln(n+1)$.
  Comme $\lim_{n \to +\infty} \ln(n+1) = +\infty$, par comparaison : \[ \lim_{n \to +\infty} H_n = +\infty \]

Démonstration de la divergence par le critère de Cauchy

Raisonnement par l'absurde

• Supposons que la suite $(H_n)$ soit convergente.
  D'après le critère de Cauchy, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un entier $N$ tel que pour tous $p, q \geq N$, on a : \[ |H_q - H_p| < \varepsilon \]
• Fixons $\varepsilon = \frac{1}{3}$. Il devrait exister un entier $N$ tel que pour tout $p \geq N$, en prenant $q = 2p$ : \[ |H_{2p} - H_p| < \frac{1}{3} \]
• Or, nous avons établi précédemment (question 2.a) que pour tout $p \in \mathbb{N}^*$ : \[ H_{2p} - H_p = \sum_{k=p+1}^{2p} \frac{1}{k} \geq p \times \frac{1}{2p} = \frac{1}{2} \]
• Nous arrivons à une contradiction : \[ \frac{1}{2} \leq H_{2p} - H_p < \frac{1}{3} \] Ce qui est impossible car $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$.
• Conclusion : L'hypothèse de départ est fausse. La suite $(H_n)$ ne vérifie pas le critère de Cauchy, elle est donc divergente.