1. Encadrement par l'intégrale
  • a) Montrer que $\int_{k}^{k+1} \frac{1}{\sqrt{t}} dt \leq \frac{1}{\sqrt{k}}$
    La fonction $f : t \longmapsto \frac{1}{\sqrt{t}}$ est strictement décroissante sur $]0, +\infty[$.
    Pour tout $t \in [k, k+1]$, on a : \[ t \geq k \implies \sqrt{t} \geq \sqrt{k} \implies \frac{1}{\sqrt{t}} \leq \frac{1}{\sqrt{k}} \] En intégrant cette inégalité sur l'intervalle $[k, k+1]$ : \[ \int_{k}^{k+1} \frac{1}{\sqrt{t}} dt \leq \int_{k}^{k+1} \frac{1}{\sqrt{k}} dt = \frac{1}{\sqrt{k}} [t]_k^{k+1} = \frac{1}{\sqrt{k}} \]
  • b) En déduire que $\int_{1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{t}} dt \leq u_n$
    En sommant l'inégalité précédente pour $k$ allant de $1$ à $n$ : \[ \sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{1}{\sqrt{t}} dt \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} \] D'après la relation de Chasles pour les intégrales et la définition de $u_n$ : \[ \int_{1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{t}} dt \leq u_n \]
  1. Calcul de l'intégrale Une primitive de $t \mapsto t^{-1/2}$ est $t \mapsto 2t^{1/2}$. Ainsi : \[ \int_{1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{t}} dt = [2\sqrt{t}]_1^{n+1} = 2\sqrt{n+1} - 2\sqrt{1} = 2\sqrt{n+1} - 2 \]
  3. Conclusion sur la minoration D'après les résultats 1.b et 2.a, on a directement pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : \[ u_n \geq 2\sqrt{n+1} - 2 \]
    4. 3. Limite de la suite $(u_n)$
    • On a : \[ \lim_{n \to +\infty} (2\sqrt{n+1} - 2) = +\infty \]
    • D'après le théorème de comparaison : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty \]