• La limite de $u_n$ dépend du rapport entre les puissances de $a$ et de $b$. On distingue trois cas principaux en fonction de la comparaison entre $|a|$ et $|b|$ :

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• Cas 1 : $|a| > |b|$

  Dans ce cas, $a^n$ est le terme prépondérant. On factorise par $a^n$ : \[ u_n = \frac{a^n \left( 1 - (\frac{b}{a})^n \right)}{a^n \left( 1 + (\frac{b}{a})^n \right)} = \frac{1 - (\frac{b}{a})^n}{1 + (\frac{b}{a})^n} \] Comme $|b/a| < 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} (\frac{b}{a})^n = 0$.
  D'où : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$.

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• Cas 2 : $|b| > |a|$

  Ici, $b^n$ est le terme prépondérant. On factorise par $b^n$ : \[ u_n = \frac{b^n \left( (\frac{a}{b})^n - 1 \right)}{b^n \left( (\frac{a}{b})^n + 1 \right)} = \frac{(\frac{a}{b})^n - 1}{(\frac{a}{b})^n + 1} \] Comme $|a/b| < 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} (\frac{a}{b})^n = 0$.
  D'où : $\lim_{n \to +\infty} u_n = -1$.

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• Cas 3 : $|a| = |b|$

  Puisque $b \neq -a$ (donné par l'énoncé), la seule possibilité est $a = b$.
  Si $a = b$, alors pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : \[ u_n = \frac{a^n - a^n}{a^n + a^n} = \frac{0}{2a^n} = 0 \] D'où : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.

Résumé des résultats