1. Montrer que: $~~\forall n \in \mathbb{N} :~~ 0 < u_n < v_n$

• Initialisation : Pour $~n=0~$, $~u_0 = a~$ et $~v_0 = 2a~$.
  Comme $~a > 0~$, on a bien $~0 < a < 2a$,
  Soit: $0 < u_0 < v_0$.
• Hypothèse de récurrence: Supposons que pour un entier $~n \ge 0$, on ait $~0 < u_n < v_n$.
  • $u_{n+1} = \sqrt{u_n v_n} > 0~$ car $~u_n~$ et $~v_n~$ sont strictement positifs.
  • Comparons $u_{n+1}$ et $v_{n+1}$ en utilisant l'inégalité arithmético-géométrique :
    Pour tous réels $x, y$ strictement positifs et distincts, $\sqrt{xy} < \frac{x+y}{2}$. Ici, $u_n \neq v_n$, donc $\sqrt{u_n v_n} < \frac{u_n + v_n}{2}$
    Ce qui donne $u_{n+1} < v_{n+1}$.
  La propriété est vraie pour $n+1$.
• Conclusion : Par récurrence, $\forall n \in \mathbb{N}, 0 < u_n < v_n$.

2. Monotonie des suites $(u_n)$ et $(v_n)$

• Pour la suite $(u_n)$ : \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\sqrt{u_n v_n}}{u_n} = \sqrt{\frac{v_n}{u_n}} \] Comme $v_n > u_n$, alors $\frac{v_n}{u_n} > 1$, d'où $\sqrt{\frac{v_n}{u_n}} > 1$. La suite $(u_n)$ est donc strictement croissante.
• Pour la suite $(v_n)$ : \[ v_{n+1} - v_n = \frac{u_n + v_n}{2} - v_n = \frac{u_n - v_n}{2} \] Comme $u_n < v_n$, alors $u_n - v_n < 0$, donc $v_{n+1} - v_n < 0$. La suite $(v_n)$ est donc strictement décroissante.

3. Adjacence des suites

• Nous avons montré que $(u_n)$ croît et $(v_n)$ décroît. De plus, pour tout $n$, $u_n < v_n$. Ainsi, $u_0 \le u_n < v_n \le v_0$. Les deux suites sont bornées.
• Montrons que $v_n - u_n \to 0$. On a : \[ v_{n+1} - u_{n+1} < v_{n+1} - u_n = \frac{u_n + v_n}{2} - u_n = \frac{v_n - u_n}{2} \] Par une récurrence immédiate : $0 < v_n - u_n \le \frac{v_0 - u_0}{2^n}$.
• Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{v_0 - u_0}{2^n} = 0$, d'après le théorème des gendarmes : \[ \lim_{n \to +\infty} (v_n - u_n) = 0 \]
• Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont donc adjacentes. Elles convergent vers une limite commune appelée moyenne arithmético-géométrique de $a$ et $2a$.