1. Convergence des suites $(u_n)$ et $(v_n)$

• Étude de la monotonie de $(u_n)$ :
  \[ u_{n+1} - u_n = \frac{1}{(n+1)^2} > 0 \] La suite $(u_n)$ est donc strictement croissante.
• Étude de la monotonie de $(v_n)$ :
  \begin{align*} v_{n+1} - v_n &= (u_{n+1} + \frac{1}{n+1}) - (u_n + \frac{1}{n}) \\ &= (u_{n+1} - u_n) + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} \\ &= \frac{1}{(n+1)^2} - \frac{1}{n(n+1)} \end{align*} Or, pour tout $n \geq 1$, $(n+1)^2 > n(n+1)$, donc $\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n(n+1)}$.
  D'où $v_{n+1} - v_n < 0$.
  La suite $(v_n)$ est donc strictement décroissante.
• Limite de la différence :
  \[ \lim_{n \to +\infty} (v_n - u_n) = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0 \]
• Conclusion sur l'adjacence :
  Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes (l'une croissante, l'autre décroissante, et leur différence tend vers 0).
  D'après le théorème des suites adjacentes, elles convergent vers une limite commune réelle $l$.