1. Démontrer l'identité pour $x > 0$

• Rappelons la formule d'addition pour la fonction Arctangente :
  Pour tous $a, b$ tels que $ab > -1$ : \[ \text{Arctan}(a) - \text{Arctan}(b) = \text{Arctan}\left( \frac{a - b}{1 + ab} \right) \]
• Appliquons cette formule avec $a = \frac{1}{x}$ et $b = \frac{1}{1+x}$ : \[ \text{Arctan}\left( \frac{1}{x} \right) - \text{Arctan}\left( \frac{1}{1+x} \right) = \text{Arctan}\left( \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{1+x}}{1 + \frac{1}{x(1+x)}} \right) \]
• Simplifions l'argument de la fonction :
  • Numérateur : $\frac{1+x - x}{x(1+x)} = \frac{1}{x(1+x)}$
  • Dénominateur : $\frac{x(1+x) + 1}{x(1+x)} = \frac{x^2 + x + 1}{x(1+x)}$
  En simplifiant par $x(1+x)$, on obtient : \[ \frac{\frac{1}{x(1+x)}}{\frac{x^2 + x + 1}{x(1+x)}} = \frac{1}{1+x+x^2} \]
• D'où l'égalité : \[ \text{Arctan}\left( \frac{1}{x} \right) - \text{Arctan}\left( \frac{1}{1+x} \right) = \text{Arctan}\left( \frac{1}{1+x+x^2} \right) \]

2. Étude de la suite $(u_n)$ et de sa somme $(S_n)$

a) Calcul de $\lim u_n$

• Posons $f(x) = \text{Arctan}(x)$. La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, et en particulier en $0$.
• On a $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{1+n+n^2} = 0$.
• Par composition de limites (justifiée par la continuité de la fonction Arctangente en $0$) : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = f\left(\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{1+n+n^2}\right) = \text{Arctan}(0) = 0 \]

b) Expression de $S_n$ et sa limite

• En utilisant le résultat de la question 1, nous pouvons écrire : \[ S_n = \sum_{k=1}^n \left[ \text{Arctan}\left( \frac{1}{k} \right) - \text{Arctan}\left( \frac{1}{1+k} \right) \right] \]
• C'est une somme télescopique. En développant les termes : \[ S_n = \left( \text{Arctan}(1) - \text{Arctan}\left(\frac{1}{2}\right) \right) + \left( \text{Arctan}\left(\frac{1}{2}\right) - \text{Arctan}\left(\frac{1}{3}\right) \right) + \dots + \left( \text{Arctan}\left(\frac{1}{n}\right) - \text{Arctan}\left(\frac{1}{n+1}\right) \right) \] Il ne reste que le premier et le dernier terme : \[ S_n = \text{Arctan}(1) - \text{Arctan}\left( \frac{1}{n+1} \right) = \frac{\pi}{4} - \text{Arctan}\left( \frac{1}{n+1} \right) \]
• Calcul de la limite :
  Comme $\lim_{n \to +\infty} \text{Arctan}\left( \frac{1}{n+1} \right) = 0$, on en déduit : \[ \lim_{n \to +\infty} S_n = \frac{\pi}{4} \]