1. Étude de la monotonie de la suite $(u_n)_{n \geq 1}$

• On a : \[ u_{n+1} - u_n = \frac{1}{(n+1)^2}>0 \]
• La suite $(u_n)_{n \geq 1}$ est donc strictement croissante.

2. Majoration et convergence

• a) Vérification des inégalités

  • Pour tout $k \geq 2$ : \[ \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} = \frac{1}{k(k-1)} \]
  • Comme $k^2 > k(k-1)$, en passant à l'inverse : \[ \frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k-1)} \implies \frac{1}{k^2} < \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \]

• b) En déduire que $u_n \leq 2 - \frac{1}{n}$

  • Sommons l'inégalité précédente pour $k$ allant de $2$ à $n$ : \[ \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} < \sum_{k=2}^{n} \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right) =1-\dfrac{1}{n}\]
  • Et donc: \[ u_n= 1+\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} <1+ \left(1 - \frac{1}{n}\right) \]
  • Puisque pour tout $~n \geq 1$, $~\frac{1}{n} > 0$, on a $2 - \frac{1}{n} < 2$, d'où $u_n < 2$.

• c) Convergence de la suite

  • La suite $(u_n)$ etant croissante et majorée par 2, donc elle est convergente.