EXERCICE : Minoration d'une suite de type Riemann

1. Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}^* : u_n \geq \sqrt{n}$

• La suite est définie par $u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}$.
  Pour tout $k \in \{1, 2, \dots, n\}$, nous avons l'inégalité suivante : \[ \sqrt{k} \leq \sqrt{n} \]
• En passant à l'inverse (la fonction inverse étant décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$) : \[ \frac{1}{\sqrt{k}} \geq \frac{1}{\sqrt{n}} \]
• Sommons cette inégalité pour $k$ allant de $1$ à $n$ : \[ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} \geq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n}}=n\times\dfrac{1}{\sqrt n}=\sqrt n \]
• On a bien : $~u_n \geq \sqrt{n}$.

2. Limite de la suite $(u_n)$

• Nous savons que : \[ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty \]
• D'après le théorème de comparaison et puisque $u_n \geq \sqrt{n}$ , alors : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty \]
• La suite $(u_n)$ est donc divergente vers $+\infty$.