1. Montrer que $\forall n \in \mathbb{N} : 0 \le u_n \le 1$

• Initialisation :
  Pour $n = 0$, $u_0 = 1$. On a bien $0 \le 1 \le 1$. La propriété est vraie.
• Hérédité :
  Supposons que pour un entier $n$ fixé, $0 \le u_n \le 1$.
  Alors : \[ 0 \le 3u_n \le 3 \] \[ 1 \le 3u_n + 1 \le 4 \] En appliquant la fonction racine cubique (strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$) : \[ \sqrt[3]{1} \le \sqrt[3]{3u_n + 1} \le \sqrt[3]{4} \] \[ 1 \le \sqrt[3]{3u_n + 1} \le \sqrt[3]{4} \] En retranchant 1 : \[ 0 \le \sqrt[3]{3u_n + 1} - 1 \le \sqrt[3]{4} - 1 \] Comme $\sqrt[3]{4} \approx 1,58$, on a $\sqrt[3]{4} - 1 \approx 0,58 \le 1$.
  D'où $0 \le u_{n+1} \le 1$. La propriété est héréditaire.
• Conclusion : Par récurrence, $\forall n \in \mathbb{N}, 0 \le u_n \le 1$.

2. Étude de la monotonie de la suite $(u_n)$

• D'après la définition de la suite : $u_{n+1} + 1 = \sqrt[3]{3u_n + 1}$.
  En élevant au cube : \[ (u_{n+1} + 1)^3 = 3u_n + 1 \] \[ u_{n+1}^3 + 3u_{n+1}^2 + 3u_{n+1} + 1 = 3u_n + 1 \]
• On en déduit la relation suivante : \[ 3u_n = u_{n+1}^3 + 3u_{n+1}^2 + 3u_{n+1} \] Comme $u_{n+1} \ge 0$, alors $u_{n+1}^3 \ge 0$ et $3u_{n+1}^2 \ge 0$.
  Par conséquent : \[ 3u_n \ge 3u_{n+1} \implies u_n \ge u_{n+1} \]
• La suite $(u_n)$ est donc décroissante.

3. Convergence de la suite

• La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$.
• Par conséquent la suite $(u_n)$ est convergente.