1. Montrer que la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ est croissante
  • La suite est définie par $ u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^3} $.
    Étudions la différence entre deux termes consécutifs : \[ u_{n+1} - u_n = \frac{1}{(n+1)^3} >0\]

    • La suite $(u_n)_{n \ge 1}$ est donc strictement croissante.
2. Montrer par récurrence que $ u_n \le 2 - \frac{1}{n} $
  • Initialisation :
    Pour $ n = 1 $ : $ u_1 = 1 $ et $ 2 - \frac{1}{1} = 1 $.
    On a $ 1 \le 1 $, donc la propriété est vraie au rang $ n = 1 $.
  • Hérédité :
    Supposons que pour un entier $ n \ge 1 $ fixé, on ait $ u_n \le 2 - \frac{1}{n} $.
    Montrons que $ u_{n+1} \le 2 - \frac{1}{n+1} $.
    On a $ u_{n+1} = u_n + \frac{1}{(n+1)^3} $. Par hypothèse de récurrence : \[ u_{n+1} \le 2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^3} \] Or, on sait que pour tout $ n \ge 1 $, $ (n+1)^3 > n(n+1)^2 > n(n+1) $.
    Donc $ \frac{1}{(n+1)^3} < \frac{1}{n(n+1)} $.
    En utilisant la décomposition en éléments simples $ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $, on obtient : \[ u_{n+1} < 2 - \frac{1}{n} + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \] \[ u_{n+1} < 2 - \frac{1}{n+1} \] La propriété est donc héréditaire.
  • Conclusion :
    Par récurrence, pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $, $ u_n \le 2 - \frac{1}{n} $.
    • Méthode 2 (directe)
    2. Montrer que $u_n \leq 2 - \frac{1}{n}$
    • On sait que pour tout $k \geq 2$, $k^3 \geq k^2$, donc : \[ \frac{1}{k^3} \leq \frac{1}{k^2}< \frac{1}{k(k-1)}\]
    • En décomposant la fraction : \[ \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \]
    • Sommons maintenant de $k=2$ jusqu'à $n$ : \[ \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^3} \leq \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} \leq \sum_{k=2}^{n} \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right) \]
    • Par télescopage, la somme de droite se simplifie : \[ \sum_{k=2}^{n} \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right) = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right) = 1 - \frac{1}{n} \]
    • En ajoutant le premier terme $u_1 = 1$ : \[ u_n = 1 + \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^3} \leq 1 + \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \] \[ u_n \leq 2 - \frac{1}{n} \]
3. Convergence de la suite
  • D'après la question précédente, pour tout $ n \ge 1 $, $ u_n \le 2 - \frac{1}{n} $.
    Comme $ \frac{1}{n} > 0 $, on a $ 2 - \frac{1}{n} < 2 $, donc la suite est majorée par 2.
  • La suite $(u_n)$ étant croissante et majorée, elle est donc convergente.