1. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante

• On a: \[ 2u_{n+1} = (1 + 2u_n+u_n^2) \]
• Ce qui implique : \[ 2(u_{n+1} - u_n) = (1 + u_n^2) \] Et donc: \[ u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}(1 + u_n^2) \]
• Puisque pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n^2 \ge 0$, alors $1 + u_n^2 \ge 1 > 0$.
  Par conséquent, $u_{n+1} - u_n > 0$, ce qui prouve que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

2.

• a) Montrer que $u_{n+1} - u_n \ge \frac{5}{2}$

  • Nous avons établi que $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}(1 + u_n^2)$.
  • Comme la suite $(u_n)$ est croissante, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \ge u_0$.
    Or $u_0 = 2$, donc $u_n \ge 2$, ce qui implique $u_n^2 \ge 4$.
  • On en déduit : \[ u_{n+1} - u_n \ge \frac{1}{2}(1 + 4) = \frac{5}{2} \]

• b) En déduire que $u_n \ge 2 + \frac{5n}{2}$

  • En utilisant le résultat précédent pour les rangs allant de $0$ à $n-1$ : \[ \sum_{k=0}^{n-1} (u_{k+1} - u_k) \ge \sum_{k=0}^{n-1} \frac{5}{2} \]
  • Par télescopage de la somme de gauche : \[ u_n - u_0 \ge n \times \frac{5}{2} \]
  • En remplaçant $u_0 = 2$, on obtient bien : \[ u_n \ge 2 + \frac{5n}{2} \]

3. Limite de la suite $(u_n)$

• On sait que $\lim_{n \to +\infty} \left( 2 + \frac{5n}{2} \right) = +\infty$.
• D'après le théorème de comparaison : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty \]