EXERCICE 08 : Étude d'une suite homographique

1. Démontrer par récurrence que $ \forall n \in \mathbb{N^*} , ~ 1\leq u_n \leq 2 $

• Initialisation :
  Pour $ n = 0 $, $ u_0 = \frac{1}{2} $. Attention, l'énoncé demande pour $ n \in \mathbb{N}^* $.
  Calculons $ u_1 $ : $ u_1 = \frac{2(1/2) + 1}{1/2 + 1} = \frac{2}{3/2} = \frac{4}{3} $.
  On a bien $ 1 \leq \frac{4}{3} \leq 2 $, donc la propriété est vraie au rang $ n = 1 $.
• Hypothèse de récurrence :
  Supposons que pour un entier $ n \geq 1 $ fixé, on ait $ 1 \leq u_n \leq 2 $.
  Considérons la fonction $ f(x) = \frac{2x + 1}{x + 1} $ sur $ [1, 2] $.
  Cette fonction est dérivable sur $~[1,2]~$ Sa dérivée est : \[ f'(x) = \frac{2(x+1) - (2x+1)}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2} > 0 \] La fonction $ f $ est strictement croissante sur $ [1, 2] $.
  Par hypothèse de récurrence : \[ 1 \leq u_n \leq 2 \] \[ f(1) \leq f(u_n) \leq f(2) \] \[ \frac{3}{2} \leq u_{n+1} \leq \frac{5}{3} \] On a bien: $~ 1 \leq u_{n+1} \leq 2 $.
• Conclusion :
  Par le principe de récurrence, $ \forall n \in \mathbb{N}^*, 1 \leq u_n \leq 2 $.

2. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante

• La fonction $f$ est une fonction homographique, dérivable sur son domaine $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
  La fonction $f$ strictement croissante sur $]-\infty, -1[$ et sur $]-1, +\infty[$.
• Nous avons montré précédemment que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \in [1/2, 2]$.
  Les premiers termes :
  1. $u_0 = \frac{1}{2}$
  2. $u_1 = \frac{4}{3}$
  On constate que: $~u_1 > u_0$.
• Raisonnement par récurrence :
  Comme $~f~$ est croissante sur $~[1/2, 2]~$ et que $~u_1 > u_0~$, on montre par une récurrence immédiate que $~u_{n+1} > u_n~$ pour tout $~n$ :
  • Si $u_n > u_{n-1}$, alors $f(u_n) > f(u_{n-1})$ par croissance de $f$.
  • C'est-à-dire $u_{n+1} > u_n$.
  La suite $(u_n)$ est donc croissante.