1. Encadrement de la suite $ u_n $
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La suite est définie par $ u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 + k} $.
Pour tout $ k \in \{1, 2, \dots, n\} $, nous avons l'inégalité suivante : \[ 1 \leq k \leq n \] - En ajoutant $ n^2 $ à chaque membre : \[ n^2 + 1 \leq n^2 + k \leq n^2 + n \]
- En passant à l'inverse (la fonction inverse étant décroissante sur $ \mathbb{R}_+^* $) : \[ \frac{1}{n^2 + n} \leq \frac{1}{n^2 + k} \leq \frac{1}{n^2 + 1} \]
- En multipliant par $ n $ ($ n > 0 $) : \[ \frac{n}{n^2 + n} \leq \frac{n}{n^2 + k} \leq \frac{n}{n^2 + 1} \] Soit: \[ \frac{1}{n + 1} \leq \frac{n}{n^2 + k} \leq \frac{n}{n^2 + 1} \]
- En sommant cette inégalité pour $ k $ allant de $ 1 $ à $ n $, on obtient : \[ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n + 1} \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 + k} \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 + 1} \] \[ n \times \frac{1}{(n + 1)} \leq u_n \leq n \times \frac{n}{n^2 + 1} \]
- Ce qui donne : \[ \frac{n}{n + 1} \leq u_n \leq \frac{n^2}{n^2 + 1} \]
2. Détermination de la limite
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Calculons les limites des membres de gauche et de droite :
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- $\lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n + 1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n} = 1$
- $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2}{n^2 + 1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2}{n^2} = 1$
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- D'après le théorème d'encadrement (théorème des gendarmes) : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = 1 \]