Suite $a_n$
  1. Encadrement :
    1. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $-1 \leq \sin(n) \leq 1$.
    2. Comme $(\frac{3}{4})^n > 0$, on en déduit : $-\left(\frac{3}{4}\right)^n \leq a_n \leq \left(\frac{3}{4}\right)^n$.
  2. Calcul de la limite :
    1. Puisque $-1 < \frac{3}{4} < 1$, on a $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{3}{4}\right)^n = 0$.
    2. D'après le théorème d'encadrement, $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0$.
Suite $b_n$
  1. Simplification de l'expression :
    1. Pour $n > 0$, factorisons par $n$ au numérateur et au dénominateur : \[ b_n = \frac{n(1 - \frac{\sin n}{n})}{n(1 + \frac{\sin n}{n})} = \frac{1 - \frac{\sin n}{n}}{1 + \frac{\sin n}{n}} \]
  2. Limite du terme $\frac{\sin n}{n}$ :
    1. On a $-\frac{1}{n} \leq \frac{\sin n}{n} \leq \frac{1}{n}$. Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$, alors $\lim_{n \to +\infty} \frac{\sin n}{n} = 0$.
    2. On en déduit que: $\lim_{n \to +\infty} b_n = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$.
Suite $c_n$
  1. On sait que $-1 \leq \sin(2n) \leq 1$,
    Donc: $-\sin(2n) \geq -1$.
  2. On en déduit $c_n \geq n + 1 - 1$,
    Soit $~c_n \geq n$.
    Par comparaison, $\lim\limits_{n \to +\infty} c_n = +\infty$.
Suite $d_n$
  1. Il est clair que: $~~d_n \geq -2 + 4n^2 + 3$,
    Soit: $~~d_n \geq 4n^2 + 1$.
    Ce qui implique: $~~\lim\limits_{n \to +\infty} d_n = +\infty$.
Suite $u_n$
  1. Encadrement du dénominateur :
    1. On a $-1 \leq \cos n \leq 1$, donc $4 \leq 5 + \cos n \leq 6$.
    2. En passant à l'inverse : $\frac{1}{6} \leq \frac{1}{5 + \cos n} \leq \frac{1}{4}$.
  2. Minoration de $u_n$ :
    1. En multipliant par $3n > 0$, on obtient $u_n \geq \frac{3n}{6} = \frac{n}{2}$.
    2. Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{n}{2} = +\infty$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
  1. Transformation de l'expression :
    1. $v_n = (2^n)^{1/5} - (2^n)^{1/3} = 2^{n/5} - 2^{n/3}$.
    2. Factorisons par le terme de plus haut degré $2^{n/3}$ : $v_n = 2^{n/3} \left( 2^{\frac{n}{5} - \frac{n}{3}} - 1 \right)=2^{n/3} (2^{-2n/15}-1 )$.
  2. Calcul de la limite :
    1. Par produit de limites : $\lim\limits_{n \to +\infty}v_n= +\infty \cdot (0 - 1) = -\infty$.
Suite $w_n$
  1. Simplification :
    1. Par définition, $\sqrt[n]{2^n} = (2^n)^{1/n} = 2$.
    2. L'expression devient $w_n = 2 - 2 = 0$.
  2. Limite :
    1. La suite est constante égale à 0, donc $\lim_{n \to +\infty} w_n = 0$.
Suite $x_n$
  1. Réécriture des puissances :
    1. $x_n = \frac{2 \cdot 2^n + 3 \cdot 3^n}{3^{2n} \cdot 3^{-1}} = 3 \cdot \frac{2 \cdot 2^n + 3 \cdot 3^n}{9^n}$.
    2. $x_n = 6 \cdot (\frac{2}{9})^n + 9 \cdot (\frac{3}{9})^n = 6(\frac{2}{9})^n + 9(\frac{1}{3})^n$.
  2. Limite :
    1. Comme les bases $2/9$ et $1/3$ sont comprises entre -1 et 1, leurs puissances tendent vers 0.
    2. D'où $\lim_{n \to +\infty} x_n = 0$.
Suite $y_n$
  1. Encadrement de la partie entière :
    1. On sait que $n - 1 < E(n) \leq n$.
    2. D'où $\frac{3n + n - 1}{n + 5} < y_n \leq \frac{3n + n}{n + 5}$, soit $\frac{4n - 1}{n + 5} < y_n \leq \frac{4n}{n + 5}$.
  2. Théorème des gendarmes :
    1. On a $\lim_{n \to +\infty} \frac{4n - 1}{n + 5} = 4$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{4n}{n + 5} = 4$.
    2. On en conclut que $\lim_{n \to +\infty} y_n = 4$.
Suite $z_n$
  1. Encadrement :
    1. On a $-1 \leq \sin n \leq 1$, donc $2 \leq 3 - \sin n \leq 4$.
    2. D'où $2n \leq n(3 - \sin n) \leq 4n$.
    1. Ce qui donne: $~~\frac{1}{4n} \leq z_n \leq \frac{1}{2n}$.
    2. Puisque les deux membres tendent vers 0, $\lim_{n \to +\infty} z_n = 0$.