Exercice : Étude du corps $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$

1. Structure de corps de $(\mathbb{Q}[\sqrt{2}], +, \times)$

• Sous-anneau de $\mathbb{R}$ : $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ contient $1$ ($1 = 1 + 0\sqrt{2}$).
  Pour tous $x = a+b\sqrt{2}$ et $y = c+d\sqrt{2}$ dans $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ :
  • $x-y = (a-c) + (b-d)\sqrt{2} \in \mathbb{Q}[\sqrt{2}]$.
  • $x \times y = (ac+2bd) + (ad+bc)\sqrt{2} \in \mathbb{Q}[\sqrt{2}]$.
  Donc $(\mathbb{Q}[\sqrt{2}], +, \times)$ est un sous-anneau commutatif de $\mathbb{R}$.
• Existence de l'inverse :
  Soit $x = a+b\sqrt{2} \in \mathbb{Q}[\sqrt{2}] \setminus \{0\}$. puisque $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$, alors: $$a+b\sqrt{2} = 0 \iff a=b=0$$ De plus, $a^2 - 2b^2 \neq 0$ (sinon $ ~\sqrt{2} = |\frac{a}{b}|\in \Bbb Q,~$, ce qui est impossible). L'inverse dans $\mathbb{R}$ est donné par : \[ \frac{1}{a+b\sqrt{2}} = \frac{a}{a^2-2b^2} - \frac{b}{a^2-2b^2}\sqrt{2} \] Puisque $~\frac{a}{a^2-2b^2} ~\text{ et }~ \frac{-b}{a^2-2b^2}~$ sont dans $\mathbb{Q}$, l'inverse appartient à $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$.
• Conclusion : Tout élément non nul est inversible, c'est donc un corps.

2. Étude des sous-corps de $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$

a. Inclusion $\mathbb{Q} \subset K$

• Par définition d'un corps, $K$ contient l'élément neutre de la multiplication $1$.
• Puisque $(K, +)$ est un groupe, il contient par récurrence tous les entiers naturels ($1+1$, etc.), puis leurs opposés, donc $\mathbb{Z} \subset K$.
• Comme $K$ est un corps, tout élément non nul de $\mathbb{Z}$ admet un inverse dans $K$. Ainsi, pour tout $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{Z}^*$, $p \times q^{-1} \in K$.
• Conclusion : $\mathbb{Q} \subset K$.

b. Cas $\mathbb{Q} \neq K$

• Supposons $\mathbb{Q} \subsetneq K$. Il existe alors un élément $z = a+b\sqrt{2} \in K$ tel que $z \notin \mathbb{Q}$.
• Ceci impose $b \neq 0$ (sinon $z = a \in \mathbb{Q}$).
• Comme $a \in \mathbb{Q} \subset K$ et $b \in \mathbb{Q} \subset K$, alors par stabilité des opérations de corps : \[ \sqrt{2} = \frac{z - a}{b} \in K \]
• Puisque $\mathbb{Q} \subset K$ et $\sqrt{2} \in K$, toute combinaison $u+v\sqrt{2}$ avec $(u,v) \in \mathbb{Q}^2$ appartient à $K$.
• On en déduit que $\mathbb{Q}[\sqrt{2}] \subset K$. Par l'hypothèse de l'énoncé $K \subset \mathbb{Q}[\sqrt{2}]$, on conclut par double inclusion.
• Conclusion : $K = \mathbb{Q}[\sqrt{2}]$.