Etude de l'anneau des entiers d'Eisenstein $\mathbb{Z}[j]$
1. Structure d'anneau de $(\mathbb{Z}[j], +, \times)$
- Sous-groupe additif :
$\mathbb{Z}[j]$ est inclus dans $\mathbb{C}$. Il est non vide $~~ (~0 = 0 + 0j \in \mathbb{Z}[j]~)$.
Pour tous $z = a+bj$ et $z' = a'+b'j$ dans $~~\mathbb{Z}[j]$, $$z - z' = (a-a') + (b-b')j \in \mathbb{Z}[j]$$ - Stabilité par multiplication :
\[ z \times z' = (aa' - bb') + (ab' + a'b - bb')j \]
N.B: Dans légalité ci dessus, on a utilisé $~(~j^2=-(1+j)~)$.
Et puisque: $(aa'-bb')$ et $(ab'+a'b-bb')$ sont des entiers, alors: $$z \times z' \in \mathbb{Z}[j]$$. - Conclusion : $\mathbb{Z}[j]$ est un sous-anneau de $(\mathbb{C}, +, \times)$, c'est donc un anneau commutatif unitaire.
2. Norme des éléments de $\mathbb{Z}[j]$
- Soit $z = a+bj \in \mathbb{Z}[j]$. On a $|z|^2 = z\bar{z}$. Comme $\bar{j} = j^2$, on obtient : \[ |z|^2 = (a+bj)(a+bj^2) = a^2 + abj^2 + abj + b^2j^3 \] \[ |z|^2 = a^2 + ab(j^2+j) + b^2 \]
- Puisque $1+j+j^2 = 0$, alors $j+j^2 = -1$. D'où : \[ |z|^2 = a^2 - ab + b^2 \]
- Comme $a, b \in \mathbb{Z}$, $|z|^2$ est un entier. De plus, $|z|^2 \geq 0$, donc $|z|^2 \in \mathbb{N}$.
3. Caractérisation des éléments inversibles
- Condition nécessaire : Si $z$ est inversible dans $\mathbb{Z}[j]$, il existe $z' \in \mathbb{Z}[j]$ tel que $zz' = 1$.
Alors $|zz'|^2 = |1|^2 = 1$, soit $|z|^2 \times |z'|^2 = 1$.
Comme $|z|^2, |z'|^2 \in \mathbb{N}$, on a nécessairement $|z|^2 = 1$, d'où $|z| = 1$. - Condition suffisante : Si $|z|^2 = 1,~$ alors $~z\bar{z} = 1$.
Or, si $z = a+bj$, alors $\bar{z} = a+bj^2 = a+b(-1-j) = (a-b) - bj$.
Comme $(a-b)$ et $-b$ sont des entiers, $\bar{z} \in \mathbb{Z}[j]$.
Ainsi $z$ possède un inverse dans $\mathbb{Z}[j]$.
4. Détermination des éléments inversibles
- D'après la question précédente, $z = a+bj$ est inversible si et seulement si: $$|z|^2 = 1$$ Ce qui équivaut à : \begin{align*} a^2 - ab + b^2 = 1 \\ 4a^2 - 4ab + 4b^2 = 4\\ (2a - b)^2 + 3b^2 = 4 \\ \end{align*}
- Comme $(2a-b)^2$ et $3b^2$ sont des entiers naturels, nous analysons les cas possibles pour $3b^2 \leq 4$ :
- Cas $b^2 = 1$ : (soit $b = 1$ ou $b = -1$)
- Si $b = 1$, l'équation devient:
$(2a-1)^2 + 3 = 4 \implies (2a-1)^2 = 1$.
Soit $2a-1 = 1 \implies a=1$ (donne $z = 1+j = -j^2$).
Soit $2a-1 = -1 \implies a=0$ (donne $z = j$). - Si $b = -1$, l'équation devient:
$(2a+1)^2 + 3 = 4 \implies (2a+1)^2 = 1$.
Soit $2a+1 = 1 \implies a=0$ (donne $z = -j$).
Soit $2a+1 = -1 \implies a=-1$ (donne $z = -1-j = j^2$).
- Si $b = 1$, l'équation devient:
- Cas $b = 0$ :
- L'équation devient:
$(2a-0)^2 + 0 = 4 \implies 4a^2 = 4 \implies a^2 = 1$.
Soit $a = 1$ (donne $z = 1$).
Soit $a = -1$ (donne $z = -1$).
- L'équation devient:
- Cas $b^2 = 1$ : (soit $b = 1$ ou $b = -1$)
- Conclusion : L'ensemble des éléments inversibles de $\mathbb{Z}[j]$, noté $\mathcal{U}(\mathbb{Z}[j])$, est : \[ \mathcal{U}(\mathbb{Z}[j]) = \{1, -1, j, -j, 1+j, -1-j\} = \{1, -1, j, -j, -j^2, j^2\} \] Ce sont les 6 racines sixièmes de l'unité.