1. Structure d'anneau
Il suffit de montrer que $(\mathbb{Z}_i, +, \times)$ est un sous-anneau du corps des rationnels $(\mathbb{Q}, +, \times)$.
  • Par dĂ©finition, $\mathbb{Z}_i \subset \mathbb{Q}$.
  • $0 = \frac{0}{1}$ et $1 = \frac{1}{1}$ sont dans $\Bbb Z_i$ puisque les dĂ©nominateur est impairs
  • StabilitĂ© pour la soustraction :
    Soient $~x = \frac{a}{b}~$ et $~y = \frac{c}{d}~$ deux éléments de $~\mathbb{Z}_i~$ avec $b$ et $d$ impairs. \[ x - y = \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd} \] Le produit de deux entiers impairs ($bd$) est un entier impair.
    Comme $(ad - bc) \in \mathbb{Z}$ et $bd$ est impair, $x - y \in \mathbb{Z}_i$.
  • StabilitĂ© pour la multiplication :
    Soient $x = \frac{a}{b}$ et $y = \frac{c}{d}$ dans $\mathbb{Z}_i$. \[ x \times y = \frac{ac}{bd} \] De mĂȘme, $ac \in \mathbb{Z}$ et $bd$ est impair. Donc $xy \in \mathbb{Z}_i$.
$(\mathbb{Z}_i, +, \times)$ est donc un sous-anneau de $\mathbb{Q}$, c'est donc un anneau commutatif unitaire.

2. Est-ce un corps ?
L'anneau $(\mathbb{Z}_i, +, \times)$ n'est pas un corps.
  • Justification :
    Considérons l'élément $x = 2 = \frac{2}{1}$. On a $2 \in \mathbb{Z}_i$ car $1$ est impair. Son inverse dans $\mathbb{Q}$ est $\frac{1}{2}$.
    Or, $~~(\frac{1}{2}\notin\mathbb{Z}_i),~~$ car il est irréductible et son dénominateur est pair.
3. ÉlĂ©ments inversibles de $\mathbb{Z}_i$
Soit $~x = \frac{a}{b} \in \mathbb{Z}_i~$ avec $~\text{pgcd}(a,b) = 1~$ et $~b~$ impair.
$x~$ est inversible dans $~\mathbb{Z}_i~$ si et seulement si:
Il existe $~y = \frac{c}{d} \in \mathbb{Z}_i~$ tel que $~xy = 1$.
  • Cela implique: $~~y = \frac{b}{a}$.
  • Pour que $~\frac{b}{a}~$ appartienne Ă  $~\mathbb{Z}_i,~$ il faut et il suffit que son dĂ©nominateur soit impair.
  • Comme $x$ est Ă©crit sous forme irrĂ©ductible, l'inversibilitĂ© de $x$ Ă©quivaut Ă  dire que $a$ est un entier impair.
Conclusion : Les éléments inversibles de $\mathbb{Z}_i$ sont les rationnels qui, sous forme irréductible, ont à la fois un numérateur et un dénominateur impairs. \[ \mathcal{U}(\mathbb{Z}_i) = \left\{ \frac{a}{b} \in \mathbb{Q} \mid a \in 2\mathbb{Z}+1, b \in 2\mathbb{Z}+1, pgcd(a,b)=1 \right\} \]