1. Montrons cette Identité algébrique:

Développons le membre de droite : \[ \begin{aligned} (a^2-1)(b^2-1)+1 &= a^2b^2 - a^2 - b^2 + 1 + 1 \\ &= a^2b^2 - a^2 - b^2 + 2 \end{aligned} \] L'égalité est donc bien vérifiée pour tout $(a,b) \in I^2$.

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2. Loi de composition interne

Soient $a \in I$ et $b \in I$. Par définition, $a > 1$ et $b > 1$.

• On a $a^2 > 1$ et $b^2 > 1$, d'où $(a^2-1) > 0$ et $(b^2-1) > 0$.
• Par produit, $(a^2-1)(b^2-1) > 0$.
• En ajoutant 1, $(a^2-1)(b^2-1) + 1 > 1$.
• La fonction racine carrée étant strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$, on a : \[ a \ast b = \sqrt{(a^2-1)(b^2-1) + 1} > \sqrt{1} = 1 \]

On voit que: $a \ast b \in I$.
La loi $\ast$ est donc une loi de composition interne dans $I$.

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3. Étude de l'isomorphisme

bijectiion:
L'application $\varphi$ est la composée de deux fonctions strictement croissantes ($x \mapsto x+1$ et $u \mapsto \sqrt{u}$).
Elle est donc strictement croissante et continue et on a:

• $\lim_{x \to 0^+} \varphi(x) = 1$
• $\lim_{x \to +\infty} \varphi(x) = +\infty$.
Ainsi, $\varphi$ établit une bijection de $\mathbb{R}^*_+$ vers $]1, +\infty[ = I$.

Morphisme : Soient $x, y \in \mathbb{R}^*_+$.

Comparons $\varphi(xy)$ et $\varphi(x) \ast \varphi(y)$ : \[ \varphi(x) \ast \varphi(y) = \sqrt{\varphi(x)^2\varphi(y)^2 - \varphi(x)^2 - \varphi(y)^2 + 2} \] En utilisant la forme factorisée établie à la question 1 : \[ \varphi(x) \ast \varphi(y) = \sqrt{(\varphi(x)^2-1)(\varphi(y)^2-1) + 1} \] Comme $\varphi(x)^2 = x+1$, on a $\varphi(x)^2-1 = x$. D'où : \[ \varphi(x) \ast \varphi(y) = \sqrt{xy + 1} = \varphi(xy) \] $\varphi$ est donc un isomorphisme de $(\mathbb{R}^*_+, \times)$ vers $(I, \ast)$.



b) Structure de $(I, \ast)$:

Puisque $(\mathbb{R}^*_+, \times)$ est un groupe commutatif (sous-groupe de $(\mathbb{R}^*, \times)$) et que $\varphi$ est un isomorphisme, alors par transport de structure, $(I, \ast)$ est un groupe commutatif.
• L'élément neutre est $e = \varphi(1) = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
• Le symétrique de $a \in I$ pour la loi $\ast$ est $a' = \varphi((\varphi^{-1}(a))^{-1}) = \sqrt{\frac{1}{a^2-1} + 1}$.

c) Sous-groupe $\Gamma$



Remarquons que $\Gamma = \{ \varphi(2^m) \mid m \in \mathbb{Z} \}$. Or, l'ensemble $H = \{ 2^m \mid m \in \mathbb{Z} \}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{R}^*_+, \times)$ (il s'agit du groupe engendré par 2). Comme $\Gamma$ est l'image directe du sous-groupe $H$ par l'isomorphisme $\varphi$, $\Gamma$ est un sous-groupe de $(I, \ast)$.