1. Structure de groupe
Pour montrer que $(G, \circ)$ est un groupe, nous allons vérifier les quatre axiomes fondamentaux : la loi de composition interne, l'associativité, l'existence d'un élément neutre et l'existence d'un symétrique.
  • Loi de composition interne :
    Soient $f_{a,b}$ et $f_{a',b'}$ deux éléments de $G$. Pour tout $z \in \mathbb{C}$ : \[ \begin{aligned} (f_{a,b} \circ f_{a',b'})(z) &= f_{a,b}(a'z + b') \\ &= a(a'z + b') + b \\ &= (aa')z + (ab' + b) \end{aligned} \] Posons $A = aa'$ et $B = ab' + b$.
    Puisque $a, a' \in \{1, -1, i, -i\}$, leur produit $A$ appartient également à cet ensemble (car c'est le groupe cyclique des racines quatriÚmes de l'unité). - Soient $b = p+iq$ et $b' = p'+iq'$.
    Comme $a \in \{1, -1, i, -i\}$ et $p, q, p', q' \in \mathbb{Z}$, la partie réelle et la partie imaginaire de $B = ab' + b$ resteront des entiers relatifs par stabilité de $\mathbb{Z}$ pour l'addition et la multiplication.
    Donc $f_{A,B} \in G$.
  • AssociativitĂ© :
    La composition des applications est naturellement associative dans l'ensemble des applications de $\mathbb{C}$ vers $\mathbb{C}$.
  • ÉlĂ©ment neutre :
    Considérons l'application identité $Id_{\mathbb{C}}$, définie par $f_{1,0}(z) = 1z + 0 = z$. Ici $1 \in \{1, -1, i, -i\}$ et $0 = 0 +0\cdot i~~$ avec $(0,0) \in \mathbb{Z}^2$.
    Donc $f_{1,0} \in G$ et elle agit comme élément neutre pour la loi $\circ$.
  • ÉlĂ©ment symĂ©trique :
    Soit $f_{a,b} \in G$. Cherchons $f_{a',b'} \in G$ tel que $f_{a,b} \circ f_{a',b'} = f_{1,0}$. D'aprĂšs le calcul de la composition, il faut que : \[ \begin{cases} aa' = 1 \\ ab' + b = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} a' = \frac{1}{a} = \bar{a} \\ b' = -\frac{b}{a} = -b\bar{a} \end{cases} \]
    • Si $a \in \{1, -1, i, -i\}$, alors $\bar{a}$ appartient aussi Ă  cet ensemble.
    • Si $b = p+iq$ et $a \in \{1, -1, i, -i\}$, alors $b' = -b\bar{a}$ aura ses parties rĂ©elle et imaginaire dans $\mathbb{Z}$.
Par conséquent, $(G, \circ)$ est un groupe.
2. Commutativité
Le groupe $(G, \circ)$ n'est pas commutatif.
  • Contre-exemple :
    Considérons $f_{i,0}$ et $f_{1,1}$ (qui appartiennent bien à $G$). \begin{align*} f_{i,0} \circ f_{1,1} : &\mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C}\\ &z \longmapsto i(z+1) = iz + i\\ \end{align*} \begin{align*} f_{1,1} \circ f_{i,0} : &\mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C}\\ &z \longmapsto (iz) + 1 = iz + 1\\ \end{align*} nous avons: $~~f_{i,0} \circ f_{1,1} \neq f_{1,1} \circ f_{i,0}$.