1. Stabilité de $E$ pour la multiplication

Soient $M$ et $M'$ deux matrices de $E$. Il existe $(a, b, a', b') \in \mathbb{C}^4$ tels que : \[ M = \begin{pmatrix} a & b \\ 1-a & 1-b \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad M' = \begin{pmatrix} a' & b' \\ 1-a' & 1-b' \end{pmatrix} \] Effectuons le produit $P = M \times M'$ : \begin{align*} P & = \begin{pmatrix} a & b \\ 1-a & 1-b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a' & b' \\ 1-a' & 1-b' \end{pmatrix} \\\\ & = \begin{pmatrix} aa' + b(1-a') & ab' + b(1-b') \\(1-a)a' + (1-b)(1-a') & (1-a)b' + (1-b)(1-b') \end{pmatrix}\\\\ P&=\begin{pmatrix}A & B\\C & D\end{pmatrix} \\ \end{align*} Pour avoir la stabilité on doit avoir:

• $A+C = [aa' + b(1-a')] + [(1-a)a' + (1-b)(1-a')]=1$
• $B+D= [ab' + b(1-b')]+[ (1-a)b' + (1-b)(1-b')]=1$

En effet, en développant et simplifiant on trouve: $$A+C=B+D=1$$ Et donc: $$P=\begin{pmatrix}A & B\\1-A & 1-B\end{pmatrix} $$ Conclusion :
$E$ est stable pour la multiplication.