1. Montrons que $(G, \times)$ est un sous-groupe de $(\mathbb{R}^*, \times)$

• Élément neutre : Il est clair que $~1=1+0\times \sqrt 3~$ est dans $~G~$ .
• Stabilité pour la multiplication :
  Soient: $~x = a+b\sqrt{3}~$ et $~y = c+d\sqrt{3}~$ deux éléments de $~G$.
  • On a: $$xy = (ac + 3bd) + (ad + bc)\sqrt{3}=A+B\sqrt 3~$$ appartient bien à $G$
  . \begin{align*} A^2 - 3B^2 & = (ac+3bd)^2 - 3(ad+bc)^2\\ &= a^2c^2 + 9b^2d^2 + 6acbd - 3(a^2d^2 + b^2c^2 + 2adbc)\\ & = a^2c^2 + 9b^2d^2 - 3a^2d^2 - 3b^2c^2\\ & = a^2(c^2 - 3d^2) - 3b^2(c^2 - 3d^2)\\ A^2 - 3B^2& = (a^2 - 3b^2)(c^2 - 3d^2)=1\\ \end{align*}
  • Par conséquent : $~xy \in G~$.
• Existence du symétrique : Soit $x = a+b\sqrt{3} \in G$.
  • Remarquons que $(a+b\sqrt{3})(a-b\sqrt{3}) = a^2 - 3b^2 = 1$.
  • L'inverse de $x$ dans $\mathbb{R}^*$ est donc $x^{-1} = a - b\sqrt{3}~$ qui est dans $G$