1. Éléments nilpotents de $\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}$

• Dans l'anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, un élément $\bar{x}$ est nilpotent si et seulement si tous les facteurs premiers de $n$ divisent $x$.
• La décomposition en facteurs premiers de 24 est : $24 = 2^3 \times 3$.
• Pour que $\bar{x}$ soit nilpotent, $x$ doit être un multiple de $2 \times 3 = 6$.
• Les éléments nilpotents de $\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}$ sont donc les multiples de $\bar{6}$ : \[ \mathcal{N}(\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}) = \{\bar{0}, \bar{6}, \bar{12}, \bar{18}\} \]

2. Inversibilité de $1+a$ et $1-a$

Cas de $1-a$

• Soit $a$ un élément nilpotent d'indice $n$. On utilise l'identité remarquable sur les puissances : \[ (1-a)(1 + a + a^2 + \dots + a^{n-1}) = 1 - a^n \]
• Comme $a^n = 0$, on obtient : $(1-a)(\sum_{k=0}^{n-1} a^k) = 1$.
• L'élément $1-a$ est donc inversible et son inverse est : \[ (1-a)^{-1} = \sum_{k=0}^{n-1} a^k = 1 + a + a^2 + \dots + a^{n-1} \]

Cas de $1+a$

• On remplace $a$ par $-a$ dans le résultat précédent. Si $a$ est nilpotent, $-a$ l'est aussi.
• L'inverse de $~1+a~$ est : \[ (1+a)^{-1} = \sum_{k=0}^{n-1} (-a)^k = 1 - a + a^2 - \dots + (-1)^{n-1}a^{n-1} \]

3. Nilpotence de $ab$ et $a+b$ (sous l'hypothèse $ab=ba$)

Nilpotence de $ab$

• Soient $n$ et $p$ les indices de nilpotence respectifs de $a$ et $b$.
• Puisque $a$ et $b$ commutent, on a: $$(ab)^m = a^m b^m$$
• En prenant $~m = \max(n, p)~$, on a:
  $~a^m=0~~$ et $~b^m=0$
  Et donc:
  $~(ab)^m = 0$ et $~ab~$ est nilpotent.

Nilpotence de $~a+b~$

• Utilisons la formule du binôme de Newton (valable car $~ab=ba~$) : \[ (a+b)^m = \sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} a^k b^{m-k} \]
• Choisissons $m = n + p - 1$. Pour chaque terme de la somme :
  • Si $k \ge n$, alors $a^k = 0$, donc le terme est nul.
  • Si $k < n$, alors $m-k = (n+p-1) - k=[n-(k+1)]+p \geq p$.
    Ce qui implique $~b^{m-k} = 0~$, et le terme est nul.
• Tous les termes de la somme sont nuls, donc $(a+b)^{n+p-1} = 0$.
  Et $~a+b~$ est alors nilpotent.