Démonstration de l'inexistence d'un morphisme d'anneaux entre $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ et $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$
Les propiriétés d'homorphisme d'anneaux unitaires nous permettent d'écrire:
$$f(a+b\sqrt 2)=af(1)+bf(\sqrt 2)$$
Ceci nous mène à explorer les valeurs de $~f(1)~$ et $~f(\sqrt 2)~$
1. Valeur de $f(1)$
- Par définition, un morphisme d'anneaux (unitaires) $f : A \longrightarrow B$ doit envoyer l'élément neutre de la multiplication de $A$ sur celui de $B$.
- On a donc :
\[ f(1) = 1 \]
2. Valeur de $f(\sqrt{2})$
- Posons:
$$x = f(\sqrt{2})$$
Par définition d'un morphisme :
\[ f(\sqrt{2} \times \sqrt{2}) = f(\sqrt{2}) \times f(\sqrt{2})=x^2 \]
- Comme $\sqrt{2}^2 = 2 = 1 + 1$, on a :
\[ f(2) = f(1 + 1) = f(1) + f(1) = 2 \]
- D'où l'équation dans $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ :
\[ x^2 = 2 \]
- Posons:
$$x = a + b\sqrt{3}$$
L'équation devient :
\[ (a + b\sqrt{3})^2 = 2\]
Ce qui implique:
$$a^2 + 3b^2 + 2ab\sqrt{3} = 2$$
On doit avoir: $2ab=0$ car sinon:
$$\sqrt 3 = \dfrac{2-a^2-b^2}{2ab}$$
serait un nombre rationnel. contradiction!
Et donc: $ab=0$
Ce qui implique:
$$a^2=2\qquad \text{ou}\qquad 3b^2=2$$
ces deux équations sont à leurs tours impossible!.
Conclusion:
Il n'existe pas d'homorphisme d'anneaux unitaires entre $~\Bbb Z[\sqrt 2]~$ et $~\mathbb Z[\sqrt 3]$