- Stabilité pour les deux lois:
Posons: $$J = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ On vérifie que: $$J^2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2I$$ Une matrice $A \in \mathcal{A}$ de paramÚtres $(a,b)$ s'écrit : $$A = \begin{pmatrix} a & 2b \\ b & a \end{pmatrix} = aI + bJ$$- Stabilité pour l'addition:
Elle découle du fait que: $$(aI+bJ)+(a'I+b4J)=(a+a')+(b+b')J$$ - Stabilité pour multiplication:
Soient:
$A = aI + bJ~~$ et $~~A' = a'I + b'J$ deux éléments de $\mathcal{A}$.
\begin{align*} A \cdot A' & = (aI + bJ)(a'I + b'J)\\ & = aa'I + (ab' + ba')J + bb'J^2\\ & = aa'I + (ab' + ba')J + 2bb'I \quad \text{car:}\quad J^2=2I \end{align*} Soit: $$A \cdot A' = (aa' + 2bb')I + (ab' + ba')J\in \mathcal A$$
- Stabilité pour l'addition:
- $f$ est un isomorphisme d'anneau:
- morphisme additif:
\begin{align*} f((a+b\sqrt 2) +(c+d\sqrt 2)) &= f((a+c)+(b+d)\sqrt 2)\\ & = (a+c)I + (b+d)J\\ & = (aI+bJ) +(c+dJ)\\ f((a+b\sqrt 2) +(c+d\sqrt 2))&= f(a+b\sqrt 2) +f(c+\sqrt 2) \end{align*} Donc f est un morphisme additif. - morphisme multiplicatif:
\begin{align*} f((a+b\sqrt 2)(c+d\sqrt 2))&=f(ac+2cd+(ad+bc)\sqrt 2)\\ &=(ac+2cd)+(ad+bc)J\\ &=(aI+bJ)(c+dJ) \quad \text{rapplelez-vous:}\quad J^2=2I\\ &=f(a+b\sqrt 2)~f(c+d\sqrt 2) \end{align*} Donc f est un morphisme multiplicatif. - $f$ est une bijection:
$f$ est par construction bijective puisque à toute élément aI+bJ correspond le seul élément a+b\sqrt 2.
N.B:
$f~$ est bien défini car: $$a+b\sqrt 2=c+d\sqrt 2\implies (a,b)=(c,d)$$ Par conséquent $f$ est un isomorphisme d'anneaux.
Conclusion:
$\mathcal A$ est un anneau commutatif. cette structure est héritée de $(E,+,\times)$.
- morphisme additif:
-
Propriétés la norme $\mathcal N$ :
On a: $$\mathcal{N}(A) = \det(A) = a^2 - 2b^2$$ - $\mathcal N~$ est multiplicative:
On sait que le déterminant du produit de deux matrices est le produit de leurs déterminants :
\begin{align*} \mathcal{N}(A \cdot A') & = \det(A \cdot A')\\ & = \det(A)\det(A')\\ \mathcal{N}(A \cdot A') & = \mathcal{N}(A)\mathcal{N}(A') \end{align*} La norme $\mathcal{N}$ est donc multiplicative. - Inversibilité dans $E$ (avec $a,b \in \mathbb{Z}$) :
Si $z \in E$ est inversible, alors il existe $z' \in E$ tel que $zz' = 1$.
Alors $\mathcal{N}(zz') = \mathcal{N}(1) \iff \mathcal{N}(z)\mathcal{N}(z') = 1$.
Comme $a, b \in \mathbb{Z}$, $\mathcal{N}(z) = a^2 - 2b^2$ est un entier relatif.
Les seuls diviseurs de $1$ dans $\mathbb{Z}$ sont $1$ et $-1$.
Donc $z$ est inversible $\implies\mathcal{N}(z) = \pm 1$. RĂ©ciproquement si: $~~\mathcal N =\pm 1~$ alors: $$(a+b\sqrt 2)(a-b\sqrt 2)=a^2-2b^2=\pm 1$$ Donc: $a+b\sqrt 2$ est inversible d'inverse: $~(a-b\sqrt 2)~$ ou bien $~-(a-b\sqrt 2)$ - Supposons $a^2 - 2b^2 = 0$. Si $b \neq 0$, alors $(\frac{a}{b})^2 = 2$, donc $\sqrt{2} = |\frac{a}{b}|$, ce qui impliquerait que $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$, ce qui est absurde.
-
Par conséquent, on doit avoir $b=0$, ce qui entraßne immédiatement $~a=0$.
Ainsi : $\forall (a,b) \in \mathbb{Q}^2, a^2 - 2b^2 = 0 \implies a = b = 0$. - $(\mathcal{F}, +, \times)$ est un sous-anneau de $M_2(\mathbb{R})$ (stabilité admise car identique à $\mathcal{A}$).
-
Soit $A = aI + bJ \in \mathcal{F}$ tel que $A \neq 0$. Alors $(a,b) \neq (0,0)$.
D'aprÚs la question précédente, $\det(A) = a^2 - 2b^2 \neq 0$.
Toute matrice non nulle de $\mathcal{F}$ est donc inversible.
L'inverse est $A^{-1} = \frac{1}{a^2 - 2b^2} \begin{pmatrix} a & -2b \\ -b & a \end{pmatrix} = \frac{a}{a^2-2b^2}I - \frac{b}{a^2-2b^2}J$.
Comme les coefficients sont rationnels, $A^{-1} \in \mathcal{F}$. - Conclusion : $(\mathcal{F}, +, \times)$ est un corps commutatif.
-
On utilise l'isomorphisme avec le corps $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$.
Soit $x = a+b\sqrt{2}$.
L'Ă©quation devient $x^2 - 2x - 1 = 0$.
Le discriminant est $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(-1) = 8 = (2\sqrt{2})^2$.
Les racines sont $x_1 = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{2}$ et $x_2 = 1 - \sqrt{2}$. -
Par l'isomorphisme, les solutions matricielles sont :
$X_1 = I + J = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ et $X_2 = I - J = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$.