1. Stabilité de $\mathcal{M}$ pour l'addition et la multiplication
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Stabilité pour l'addition :
Soient $A_{a,b}$ et $A_{a',b'}$ deux éléments de $\mathcal{M}$.
\begin{align*}A_{a,b} + A_{a',b'} & = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a' & b' \\ -b' & a' \end{pmatrix}\\\\
& = \begin{pmatrix} a+a' & b+b' \\ -(b+b') & a+a' \end{pmatrix}\\\\
A_{a,b} + A_{a',b'} & = A_{a+a', b+b'}\end{align*}
Donc:
$$A_{a,b} + A_{a',b'} \in \mathcal{M}$$
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Stabilité pour la multiplication :
\begin{align*} A_{a,b} \cdot A_{a',b'} & = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a' & b' \\ -b' & a' \end{pmatrix}\\\\
A_{a,b} \cdot A_{a',b'}& = \begin{pmatrix} aa'-bb' & ab'+ba' \\ -(ba'+ab') & -bb'+aa' \end{pmatrix} \\\\
A_{a,b} \cdot A_{a',b'}& = A_{aa'-bb', ab'+ba'} \end{align*}
Donc:
$$A_{a,b} \cdot A_{a',b'} \in \mathcal{M}$$
2. Isomorphisme de $(\mathcal{M}, +, \cdot)$ vers $(\mathbb{C}, +, \cdot)$
DĂ©finition de l'application
\begin{align*}
f : &\mathcal{M} \longrightarrow \mathbb{C}\\
&A_{a,b} \longmapsto a+ib
\end{align*}
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Morphisme de groupes pour (+) :
\begin{align*}
f(A_{a,b} + A_{a',b'}) &= f(A_{a+a', b+b'})\\
& = (a+a') + i(b+b')\\
&= (a+ib) + (a'+ib')\\
f(A_{a,b} + A_{a',b'})& = f(A_{a,b}) + f(A_{a',b'})
\end{align*}
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Morphisme pour $(\cdot)$ :
\begin{align*}
f(A_{a,b} \cdot A_{a',b'}) &= f(A_{aa'-bb', ab'+ba'}) \\
& = (aa'-bb') + i(ab'+ba')\\
&= (a+ib)(a'+ib') \\
&= f(A_{a,b}) \cdot f(A_{a',b'})
\end{align*}
Donc: $$f(A_{a,b} \cdot A'_{a',b'}) = f(A_{a,b}) \cdot f(A'_{a',b'})$$
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$f$ est bijective :
f est "naturellement" bijective puisque pour tout $z\in \Bbb C$:
$$z=x+iy=f(A_{x,y})$$
3. Structure de $(\mathcal{M}, +, \cdot)$
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Puisque $f$ est un isomorphisme de corps de $(\mathcal{M}, +, \cdot)$ vers $(\mathbb{C}, +, \cdot)$, et que $(\mathbb{C}, +, \cdot)$ est un corps commutatif, alors $(\mathcal{M}, +, \cdot)$ est Ă©galement un corps commutatif.
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L'élément neutre pour l'addition est $A_{0,0} = O$ (matrice nulle).
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L'élément neutre pour la multiplication est $A_{1,0} = I$ (matrice identité).
4. RĂ©solution d'Ă©quations dans $\mathcal{M}$
Utilisation de l'isomorphisme
L'isomorphisme $f$ permet de transformer les Ă©quations matricielles en Ă©quations complexes. Soit $z = f(X)$.
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a) $X^2 + I = 0$ :
L'Ă©quation est Ă©quivalente dans $\mathbb{C}$ Ă :
$$z^2 + 1 = 0$$
Les solutions sont $z_1 = i$ et $z_2 = -i$.
Par l'isomorphisme réciproque :
$X_1 = f^{-1}(i) = A_{0,1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ et $X_2 = f^{-1}(-i) = A_{0,-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.
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b) $X^2 + X + I = 0$ :
L'Ă©quation est Ă©quivalente dans $\mathbb{C}$ Ă :
$$z^2 + z + 1 = 0$$
Les solutions sont $j$ et $j^2=\bar j$:
$$j = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\qquad \text{et}\qquad j^2 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Par l'isomorphisme réciproque :
$$J_1 = A_{-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}} = \begin{pmatrix} -1/2 & \sqrt{3}/2 \\ -\sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix}$$
$$J_2 = A_{-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}} = \begin{pmatrix} -1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix}$$