1. Montrons que: $\varphi_a \circ \varphi_b=\varphi_{ab}$

Soient $a, b \in \mathbb{R}^*_+$. Considérons un point $M(x, y)$ du plan $\mathcal{P}$.
On pose $M'(x', y') = \varphi_b(M)$ et $M''(x'', y'') = \varphi_a(M')$.

• Par définition de $\varphi_b$ : \[ \begin{cases} x' = x + \log b \\ y' = by \end{cases} \]
• Par définition de $\varphi_a$ appliquée à $M'$ : \[ \begin{cases} x'' = x' + \log a \\ y'' = ay' \end{cases} \]
• En substituant les coordonnées de $M'$ : \begin{cases} x'' = (x + \log b) + \log a \\ y'' = a(by) = (ab)y \end{cases} \begin{cases} x"&= x + \log(ab)\\ y"&=(ab)y \end{cases}

On reconnaît les équations de l'application $\varphi_{ab}$.
Ainsi, pour tout $M \in \mathcal{P}$: $$(\varphi_a \circ \varphi_b)(M) = \varphi_{ab}(M)$$ D'où: $$\varphi_a \circ \varphi_b = \varphi_{ab}$$

2. Loi de composition interne

Soient $\varphi_a$ et $\varphi_b$ deux éléments de $F$.
D'après la question précédente, $\varphi_a \circ \varphi_b = \varphi_{ab}$.
Comme $a, b \in \mathbb{R}^*_+$, le produit $ab$ appartient également à $\mathbb{R}^*_+$.
Par conséquent, $\varphi_{ab} \in F$.
La loi $\circ$ est donc une loi de composition interne sur $F$.

3. Isomorphisme de groupes

Considérons l'application :

• Morphisme : Pour tous $a, b \in \mathbb{R}^*_+$, on a $f(ab) = \varphi_{ab}$. Or, nous avons montré que $\varphi_{ab} = \varphi_a \circ \varphi_b$, soit $f(ab) = f(a) \circ f(b)$. $f$ est donc un morphisme de $(\mathbb{R}^*_+, \times)$ vers $(F, \circ)$.
• Surjection : Par construction, tout élément $\varphi_a$ de $F$ possède au moins un antécédent $a \in \mathbb{R}^*_+$ par $f$.
• Injection : Soient $a, b \in \mathbb{R}^*_+$ tels que: $$f(a) = f(b)$$ Alors: $$\varphi_a = \varphi_b$$ En comparant les images de l'origine $(x,y)=(0,0)$, on obtient: $$\log a = \log b$$ Soit: $$a = b$$ Et f est donc injective.

$f$ est un isomorphisme de $(\mathbb{R}^*_+, \times)$ vers $(F, \circ)$.

4. Structure de $(F, \circ)$

On sait que $(\mathbb{R}^*_+, \times)$ est un groupe commutatif.
Puisque $f$ est un isomorphisme de groupes, il transporte la structure du groupe de départ vers l'ensemble d'arrivée.
Ainsi, $(F, \circ)$ est un groupe commutatif.

5. Symétrique d'un élément

L'élément neutre de $(\mathbb{R}^*_+, \times)$ est $1$. L'élément neutre de $(F, \circ)$ est donc: $$\varphi_1=f(1)=\text{id}_{\mathcal P} $$
Le symétrique de $\varphi_a$ dans $(F, \circ)$ est donc : \[ (\varphi_a)^{-1} = f\left(\frac{1}{a}\right) = \varphi_{\frac{1}{a}} \] Le symétrique de $\varphi_a$ est l'application $\varphi_{1/a}$.