1. Stabilité de la loi $\top$

Par définition, $f$ est une bijection de $E$ vers $F$. Donc, pour tout $x, y \in F$, les antécédents $f^{-1}(x)$ et $f^{-1}(y)$ existent et appartiennent à $E$.
Puisque $\ast$ est une loi de composition interne sur $E$, le produit $f^{-1}(x) \ast f^{-1}(y)$ appartient à $E$.
L'image de cet élément par $f$ est bien définie et appartient à $F$.
Ainsi, $\forall (x,y) \in F^2, x \top y \in F$. La loi $\top$ est donc bien une loi de composition interne sur $F$.

2. $f$ est un isomorhpisme de $(E,\ast)$ vers $(F,\top)$

• Par définition, nous avons pour tout $(x, y) \in F^2$ : \[ x \top y = f\left(f^{-1}(x) \ast f^{-1}(y)\right) \]
• En appliquant la bijection $f^{-1}$ de chaque côté de l'égalité, nous obtenons : \[ f^{-1}(x \top y) = \left(f^{-1}(x) \ast f^{-1}(y)\right) \]
• Cette égalité montre que $f^{-1}$ est un morphisme de $(F, \top)$ vers $(E, \ast)$.
• Puisque $f^{-1}$ est un morphisme bijectif, $f^{-1}$ est un isomorphisme. Par conséquent, sa réciproque $f$ est également un isomorphisme de $(E, \ast)$ vers $(F, \top)$.

3. Conséquences de l'isomorphisme

Si $(E, \ast)$ est un groupe commutatif d'élément neutre $e_E$, alors par transport de structure :

• Élément neutre de $(F, \top)$ : Il s'agit de $e_F = f(e_E)$.
• Symétrique dans $(F, \top)$ : Pour tout $x \in F$, son symétrique $x'$ est donné par $x' = f\left([f^{-1}(x)]^{-1}\right)$.
• Commutativité : La loi $\top$ hérite immédiatement de la commutativité de $\ast$.

Application

1. Cas $F = ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$

• Considérons $(E, \ast) = (\mathbb{R}, +)$, qui est un groupe commutatif.
Soit: \begin{align*} f : &\mathbb{R} \longrightarrow -\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\\ &x \longmapsto \arctan(x)\\ \end{align*} $f$ bijective; sa bijection réciproque est: $$f^{-1}(x) = \tan(x)$$
• La loi induite est : $$ x \top y = f(f^{-1}(x) + f^{-1}(y)) = \arctan(\tan x + \tan y) $$
D'après la question précédente, $(F, \top)$ est un groupe commutatif.

2. Cas $F = \mathbb{R}^*_+ \setminus \{1\}$

• $(E, \ast) = (\mathbb{R}^*, \times)$, est un groupe commutatif.
  Soit: \begin{align*} f:(\mathbb{R}^*,\times)& \longrightarrow (F,\top)\\ x&\longmapsto e^x\\ \end{align*}
On a: $$f^{-1}(x) = \ln(x)$$
• La loi induite est : \[ x \top y = f(\ln x \cdot \ln y) = e^{\ln(x)\ln(y)} \]
• $(F, \top)$ est donc un groupe commutatif.

3. Cas $F = ]0, 1[$

• Considérons $(E, \ast) = (\mathbb{R}^*_+, \times)$.
• Soit $f: \mathbb{R}^*_+ \to ]0, 1[$ définie par $f(x) = e^{-x}$.
  $f$ est bijective, sa bijection réciproque est donnée par: $$f^{-1}(x) = -\ln(x)$$
• La loi induite est : \[ x \top y = f((-\ln x)(-\ln y)) = e^{-\ln(x)\ln(y)} \]
• $(F, \top)$ est un groupe commutatif.

4. Cas $F = ]a, +\infty[$

• Considérons $(E, \ast) = (\mathbb{R}^*_+, \times)$.
• Soit $f: \mathbb{R}^*_+ \to ]a, +\infty[$ définie par $f(x) = x + a$. Sa réciproque est $f^{-1}(x) = x - a$.
• La loi induite est : \[ x \top y = f((x-a)(y-a)) = (x-a)(y-a) + a \]
• $(F, \top)$ est un groupe commutatif.