Soit $H$ un sous-groupe de $\mathbb{Z}$ tel que $~H \neq \{0\}$.
Il existe donc un élément $x \in H$ tel que $x \neq 0$.
Comme $H$ est un groupe, l'opposé $-x$ appartient aussi à $H$. L'un des deux ($x$ ou $-x$) est donc strictement positif.
Considérons l'ensemble $H^*_+ = H \cap \mathbb{N}^*$.
Cet ensemble est une partie non vide de $\mathbb{N}$.
Or, toute partie non vide de $~\mathbb{N}~$ admet un plus petit élément, il existe un élément $n_0 = \min(H^*_+)$.

• Par définition, $n_0 \in H$.
• Soit $\langle n_0 \rangle$ le sous groupe de H engendré par $n_0$.
  On a: $$\langle n_0\rangle =n_0\Bbb Z\subset H$$

Réciproquement:

• Soit $x \in H$.
  On suppose sans de généralité que $~x>0~$ (sinon on considerera $-x$)
  Effectuons la division euclidienne de $x$ par $n_0$ : $$x = qn_0 + r$$ Ce qui implique: $$r=x-qn_0\in H$$ Car $~x~$ et $~qn_0~$ sont dans $~H~$ qui est un Sous groupe.
  Or $~r\in H~$ est le reste de la division euclidienne et donc on a: $$r\lt n_0$$ Par conséquent:
  $r=0~$ sinon $~n_0~$ n'est pas le plus petit élément de $~H~$.
  Par la suite: $$x=qn_0\in n_0\Bbb Z$$ On en déduit que: $$ H\subset n_0\Bbb Z$$ Conclusion: $$H=n_0\Bbb Z$$