1. Monrons que: $$A\cup B\subset AB$$

Soit e lélément neutre de G. il est clair que e appartient à la fois $A$ et $B$ puisque ce sont des sous groupes de G.
Il est aussi clair que:
• $Ae=A\subset AB$
• $eB=B\subset AB$
Ceci montre que: $$A\cup B\subset AB$$

---

2. Montrons l'équivalence: $$AB \text{ sous groupe de } G \iff AB=BA$$

Si AB est un groupe alors: \begin{align*} BA&=\lbrace (ab)^{-1} : (a,b)\in A\times B\rbrace\\ BA&=\lbrace b^{-1}a^{-1}:(a,b)\in A\times B\rbrace\\ BA & = AB \end{align*} Les égalités ci dessus découlent du fait que les fonctions: \begin{align*} f&:A\longrightarrow A\\ &:a\longmapsto a^{-1}\\ &\qquad \text{ Et }\\ f&:B\longrightarrow B\\ &:b\longmapsto b^{-1}\\ \end{align*} Sont bijectives.
Réciproquement:
Si $AB=BA$ alors:
• Element symétrique $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\in BA$
  Et puisque $BA=AB$ alors $(ab)^{-1}\in AB$
  Par la suite tout élément de AB admet un symetrique dans AB.
• Stabilité de $AB$:
  Soit $(a_1,b_1)$ et $(a_2,b_2)$ deux éléments de $AB$:
  $(a_1b_1)(a_2b_2)=a_1(b_1a_2)b_2=a_1(a_3b_3)b_2$
  Car:
  $b_1a_2\in AB~~$ et donc $~~b_1a_2=a_3b_3$ pour un $~~(a_3,b_3)~~$ dans $~A\times B$
  
  Par la suite: $$(a_1b_1)(a_2b_2)=(a_1a_3)(b_3b_2)$$ qui est dans AB.
  Ainsi la stabilité est prouvée.
Par conséquent: AB est un groupe. Conclusion: $$AB=BA \iff AB ~~\textit{sous groupes de}~~ G$$