1. Structure de $(G, \circ)$
Loi de composition interne
Soient $f_{(a,b)}$ et $f_{(c,d)}$ deux éléments de $G$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : \[ \begin{align*} (f_{(a,b)} \circ f_{(c,d)})(x) &= f_{(a,b)}(cx + d) \\ &= a(cx + d) + b \\ &= (ac)x + (ad + b) \end{align*} \] Puisque $(a,c) \in (\mathbb{R}^*)^2$, on a $ac \in \mathbb{R}^*$.
Donc $~f_{(a,b)} \circ f_{(c,d)} = f_{(ac, ad+b)} \in G$.

Groupe et Commutativité
  • AssociativitĂ© : La composition des applications est toujours associative.
  • ÉlĂ©ment neutre : $f_{(1,0)}(x) = 1x + 0 = x$.
    C'est l'application identité $Id_{\mathbb{R}}$, elle appartient à $G$.
  • SymĂ©trique : Cherchons $(a',b')$ tel que $f_{(a,b)} \circ f_{(a',b')} = f_{(1,0)}$.
    D'aprÚs le calcul précédent, il faut:
    $aa'=1\quad $ et $\quad ab'+b=0$
    Soit $~a'=1/a\quad$ et $\quad b'=-b/a$.
    Comme $~a \neq 0$, $~f_{(1/a, -b/a)} \in G$.
  • CommutativitĂ© :
    La loi n'est pas commutative. Contre-exemple : $~(2,0) \ast (1,1) = (2, 2)~$ alors que $~(1,1) \ast (2,0) = (2, 1)$.
2. Montrons que : $f_{(a,b)} \circ f_{(c,d)} = f_{(a,b) \ast (c,d)}$ Calculons l'image de $~x\in \Bbb R~$ par la composée : \[ f_{(a,b)} \circ f_{(c,d)}(x) = f_{(ac, ad+b)}(x) \] Par définition de la loi $\ast$ sur $E$, on a: $$(a,b) \ast (c,d) = (ac, ad+b)$$ On en déduit immédiatement l'égalité des fonctions : \[ f_{(a,b)} \circ f_{(c,d)} = f_{(a,b) \ast (c,d)} \]
3. Isomorphisme de groupes
Considérons l'application: $$\psi : f_{(a,b)} \mapsto (a,b)$$
  • Morphisme : D'aprĂšs la question prĂ©cĂ©dente : \begin{align*} \psi(f_{(a,b)} \circ f_{(c,d)}) & = \psi(f_{(a,b) \ast (c,d)})\\ \psi(f_{(a,b)} \circ f_{(c,d)}) & = (a,b) \ast (c,d)\\ \psi(f_{(a,b)} \circ f_{(c,d)}) & = \psi(f_{(a,b)}) \ast \psi(f_{(c,d)}) \end{align*} Par consĂ©quent $~\psi~$ est un morphisme.
  • BijectivitĂ© de $\psi$ :
    Par construction, chaque élément de $G$ est défini de maniÚre unique par un couple $(a,b) \in E$. L'application est donc clairement bijective.
$\psi$ est donc un isomorphisme de $(G, \circ)$ vers $(E, \ast)$.
4. Structure de $(E, \ast)$
L'image par un isomorphisme préserve la structure algébrique.
  • Puisque $(G, \circ)$ est un groupe, son image isomorphe $(E, \ast)$ est Ă©galement un groupe.
  • L'Ă©lĂ©ment neutre de $E$ est $\psi(f_{(1,0)}) = (1,0)$.
  • Le symĂ©trique de $(a,b)$ est $(1/a, -b/a)$.
  • Le groupe n'est pas commutatif car $(G, \circ)$ ne l'est pas.